立足类比推理，凸显概念本质——以“一元二次方程的概念”为例

江苏省太仓市沙溪镇岳王学校 张 军

数学概念是反映数学对象本质属性的思维形式，是数学学科的基本成分，数学概念的教学对学生提高数学素养、发展数学能力具有重要的意义。数学概念在数学的知识体系中处于基础地位，是数学基础知识和基本技能教学的核心。近期笔者全程参加了该地区的一次评优课活动，课题为“一元二次方程”，笔者结合自己亲身经历，谈谈对概念教学的几点思考。

一、类比生活情景，激发概念学习兴趣

数学概念是对客观事物的抽象概括，一些直接来源于日常生活中的实际情况，根据学生已有的知识经验，从学生的认知发展水平出发，设计学生熟悉的问题情景，让学生容易上手、易于完成问题，避免了与概念无关的干扰，帮助学生获得初步的感性认识。例如，在“一元二次方程”引入问题的设计上，笔者设计了如下的问题进行教学：

问题引入：用一根绳子围成一个矩形。

（1）假设这个矩形的周长是20 米，长比宽多2 米，求这个矩形的宽？

（2）假设这个矩形的面积是12 平方米，长比宽多2 米，求这个矩形的宽？

（3）假设这个矩形的周长是20 米，面积为12 平方米，求这个矩形的宽？

二、类比已有经验，揭示概念本质内涵

1.形式类比，引出概念

数学概念里有些是核心概念，比如方程、函数等，但像一元二次方程这样的概念则属于派生概念。充分利用好一元一次方程的学习经验，通过问题引导，让学生类比、感悟新知，提高学生的类比推理能力。

评析：学生经过观察、探索、分类等活动，总结经验，类比已学过的概念，大胆猜想一元二次方程的概念，体会概念的特征。类比已有的知识经验，总结方程的命名，依据未知数的位置、次数、个数，加深对概念特征的理解，强化概念本质属性。

2.经验类比，深化概念

通过辨析方程，发现问题，引导学生思考：在解决一元二次方程时需要整理成统一的形式，接着引出一元二次方程的一般形式。通过类比一元一次方程的一般形式，深刻体会“最高次数为二次”这一特征，理解一般形式“ax2＋bx＋c=0”中“a≠0”的本质。

三、类比变式探究，固化概念发散思维

设计开放性问题，通过变式，层层深入，学生类比题型找到解决问题的方法，充分暴露学生的思维过程，营造思辨氛围，让不同的思维发生碰撞，推理能力不断发展。

例2：已知关于x的方程(m2-4)x2+(m+2)x=8 。

（1）若这个方程是一元二次方程，则m满足的条件是什么？

（2）若这个方程是一元一次方程，则m满足的条件是什么？

变式1：已知关于x的方程（m+2）x|m|-5x+2=0 为一元二次方程，则求m的值。

变式2：若该方程为一元一次方程，m的值是多少？

变式3：已知关于x的方程（m+2）x|m|-5x2+2=0 为一元二次方程，求m的值。

评析：例题的设计由浅入深，围绕概念多角度、多层次地设计问题，在类比分析中加深学生对概念本质的理解，找到解决问题的关键。通过追问：一般形式的a、b、c分别代表什么？在多次变与不变的练习中，培养学生的整体意识和符号意识，“类比推理”落地开花，进一步推动了学生的思维发展。

四、类比研究过程，探讨概念生成体系

通过类比的思想来研究一元二次方程，从学生已有的一元一次方程的学习经验入手，初步掌握如何研究一个新方程，教学中鼓励学生大胆猜想、类比，进而提高学生研究问题的能力，培养学生的数学素养。通过问题“接下来我们还会研究一元二次方程的哪些内容”，引导学生理解认知事物的规律，掌握研究方程问题的方法，建构方程体系，为后续的学习做好铺垫。

五、教后反思，总结概念教学经验

数学概念的教学不是让学生机械地接受、简单地模仿，要让学生根据已有的知识经验，运用观察发现、类比推理等数学思想方法进行新的概括与创造，自主建构新概念。同时，在概念的生成过程中，通过分析、比较、概括等活动，培养学生分析问题和概括问题的能力，进而训练学生的思维，培养学生的数学素养。

在数学概念教学中，我们要让学生获得概念的过程变得自然、合理、有趣，充分利用新概念与认知结构中原有概念的联系，让学生参与数学活动过程，经过类比推理，揭示概念本质，体验概念获得的成就感，发展学生的思维。