浅谈数学教学中大学生数学思维的培养

2021-01-28袁金铭于书靖

科技视界 2020年25期

袁金铭于书靖朱丹

在科技飞速发展的今天，每个人都应该学会思考并善于思考，思考的方式不同，视角也会不同。在应用于人类生产生活的各种思考方式中，数学思维作为“思维的体操”，一直占据着主导地位，为人类的思考方式做出了重要贡献。因此，在大学数学教学中，传授数学知识不仅是唯一目的，培养学生的数学思维，并使学生善于运用数学思维，更是新时代下高等数学教育追求的重要目标。

1 数学思维的内涵

思维是人脑对客观事物属性与事物之间联系的规律性的概括的、间接的反映，思维的过程实际上就是对信息的接收，加工整合，储备和表达的过程。拥有清晰的思维模式，可以让我们在面对一个错综复杂的问题时，快速梳理脉络结构，准确概括提炼重点；想要表达某一个观点、想法时，思路清晰语言流畅，角度新颖沟通有效，可以使我们思考的深度和广度呈螺旋式上升，提高我们思考能力的同时，也优化思考的路径。

数学思维是以探索数学规律为目的的理性认识过程，它以严谨的数学符号和抽象的数学语言作为载体，深入研究数学知识中的数量关系、空间形式和结构关系，是思考世间万物的一种独特方式。它主要包括探索性思维、扩展性思维和创造性思维等等，如果我们把数学比作一棵参天大树，那么数学思维就是这棵树的庞大根系，埋藏于土壤中，为数学提供着不可或缺的营养源泉。和其他思维一样，数学思维也具有间接性、概括性等一般特征。但也有其特殊性，主要表现在数学语言的简练准确和数学形式的抽象化、符号化、结构化倾向，这也是我们常说的数学之美。

2 培养数学思维的重要性

很多大学生毕业之后都会有一种体会，在工作中真正用到学过的数学概念和定理其实并不多，有些甚至早已淡忘，但所受过的数学训练，掌握的数学思维方法，将其内化为自身的思维方式，却一直印在脑海中，发挥着重要作用。其实，数学教育的核心目的，除了为解决问题提供工具外，就是锻炼学生的思维能力。

良好的数学思维不仅是学好数学的重要保证，也能启发和磨炼学生的终身学习技能，如逻辑思维能力、创新思维能力、对问题的概括性和整体性的思考能力，而且这种能力的提升将会有效迁移到其他工程技术类课程的学习中去，提高他们将来在实际工作中的能力和水平。为此，充分研究如何培养强化学生的数学思维能力，并在教学过程中加以有效渗透，对于提高数学类课程的教学质量，提升学生的综合素质具有重要意义。

此外，心理学研究表明，学生掌握正确的思维方法需要老师有意识地加强引导和有效培养，否则，即便到了高年级和生产生活的实践中，多数人对思维方法还会缺乏足够的重视，更不能灵活地加以运用。因此思维的培养，一直是高等教育的追求。

3 数学思维在课程中的体现

逆向思维，是指当运用常规思路和方法无法解决问题时，让思维从对立的方向出发和延展，采取反向思维求解问题的方法。这种思维在高等数学课程中随处可见，例如，导数与不定积分的相互转换，无穷级数和函数的计算方法，命题与逆否命题的真假判定，反证法等，这些知识点的掌握都需要逆向思维来加强学生的理解，由于“有限与无限”“连续与间断”“局部与整体”“静止与运动”等这些对立统一规律普遍存在于自然科学的各个领域中，每一种矛盾关系就对应一种逆向思维的方式，在应用正向思维求解无果时，利用逆向思维从相反方向出发往往能发现一片新天地，因此应重视培养学生的逆向思维，提高学生的思维能力。

发散思维，是指从已有信息出发，从不同方向、不同层面呈扩散辐射式思考问题的思维方式，这种思维在数学活动中发挥着极其重要的作用，比如教学中的一题多解：在计算球冠面积时，除了可以利用微元法思想通过定积分计算出面积外，还可以利用直角坐标系下和极坐标系下二重积分法进行计算，为培养思维的创造性，克服思维定式，还可以把球冠看成是曲体圆锥体的底面，利用三重积分得到所要的面积。与此类似的还有一题多变、一式多变、一题多问等等，这样安排不仅可以使学生将基础知识融会贯通起来，还能促使学生从单一的思维方式中解放出来，有效地发展不同角度的多向思维，提高数学素养。

抽象思维，是指从客观事物的具体形象和规律中发现共性，从而寻找事物本质特征的思维。高等数学课程中的很多定义和定理都是从实例出发，例如在引入极限的概念时，剖析古语“一尺之捶，日取其半，万世不竭”，研究刘徽的割圆术，从而抽象出数列极限的直观概念；在介绍导数的概念之前，通过观察变速直线运动物体的瞬时速度，曲线上某一点的切线斜率，抛开具体内容，抽象出相同的数量关系：增量比的极限，从而得出导数的概念，与此类似的还有定积分、二重积分、曲线积分、曲面积分等等，这样就能大大降低学生理解抽象性概念和定理的难度。

类比思维，是指本质不同的两类事物的某些属性相同或相似，通过比较，将一种掌握或熟悉的事物的知识推移到另一类事物上去的推理手段，在数学教学中，常见的有，类比变量取值范围、类比定义式的结构、类比公式引发猜想等，比如讲授多元函数的连续、二重极限、偏导数、全微分时，很多重要概念、公式和定理的条件、结论和几何意义都可以和一元函数中的连续、极限、导数、微分作类比。通过类比，学生在学习新知识时，由被动变为主动，从已熟悉的旧知识引出新的知识，由“熟”解“生”，在欣然接受、轻松掌握数学知识的同时，也逐渐培养了他们的类比思维。

4 如何促进数学思维形成

4.1 在课前准备方面，提高教师的思维意识和素养是基础前提

教师是培养学生数学思维的枢纽和领路人，发挥着不可替代的作用。但在现实教学中，只有为数不多的教师能担此重任。这与教师自身数学思维的缺乏有关，但更多的是与教师的思维培养意识和素养相关。教育者先受教育，教师不仅要拓宽自身的知识面，具备扎实的专业学养，而且要透彻分析教材，善于挖掘与运用课程中的思维元素，提高自己的思维意识；然后了解分析学生的心理特点、兴趣爱好、认知水平，因材施教，以学生的眼界设计教学思路，为学生提供有利于思维发展的“锚”；最后，预测学生可能的思维活动和问题，根据学生的实时反馈不断调整改进，加强反思与总结，做到融会贯通、触类旁通。此外，教师还要注意在课堂上的授课规范，在课堂上，教师只能有意识地传递显性知识，而隐性知识只能通过教师的身体来感知和模仿，其自身展现出的一举一动、一字一句都会对学生产生巨大的感染力，而严格的行为规范往往能对培养学员良好的数学思维起到事半功倍的效果，这个过程和风细雨、潜移默化。

4.2 在教学实施方面，重视数学思维的引导和培养是动力源泉

第一，俗话说：“兴趣是最好的老师”。国内外众多优秀数学家都曾表示，兴趣是维持他们探究数学的强大动力。在教学过程中，教师可通过适当讲解数学史，结合所学专业内容和生活中的相关实例，加强应用环节教学，化解学生疑难，建立融洽的师生关系等方法培育并保持学生学习数学的兴趣，鼓励学生积极思维。

第二，教师应根据学生不同的数学能力和水平，通过由浅入深、先正后反等方式，创设合适问题情境，给出不同的题型，以便给予不同层次学生思考、联想、创新的思维空间，并重视培养学生讨论与分析问题的积极性，在课堂上鼓励学生同桌交流、小组讨论、同学评论等，当学生遇到思维困难或认知错误时，教师可以耐心地从不同层次引导学生进行辩证分析，梳理思路，发挥学生主体地位，激发学生的成就动机，训练学生思维技巧。

第三，数学是一个有机整体，各章节之间相互交错，存在着紧密的内在联系，在课堂上，教师除了要讲明本节课的知识外，还应重视内容的横向联系与纵向联系，使学生具有一个经纬交织的知识网络，并引导学生有针对性地进行反思和总结，夯实薄弱环节，优化认知结构。

4.3 在课后拓展方面，加强数学思维的巩固和运用是重要保障

课堂永远只是有效学习的一个环节而不是全部，数学思维不是仅凭课堂上教师讲解的内容和方式就可以形成，要想让学生内化不同的思维方式，还要在课后的应用环节进行加强巩固，关键是要形成一种运用数学思维解决问题的意识和学习风气。数学建模是搭建理论与实践之间的桥梁，它将数学知识与丰富多彩的现实生活紧密联系起来，为学生提供了一个锻炼数学思维的有效方式。因此，教师除了布置书面作业外，还应鼓励同学积极参与数学建模实践，在这一过程中，学生通过把错综复杂、随处可见的实际问题抽象简化为数学模型，然后利用各种理论和方法求解并将结果应用到实际中进行检验和修正，无形中就加强了数学思维的巩固和运用。除此之外，庚子年春，举国投入网络在线教育中，高校师生、大小企业在云端进行形式多样的沟通交流。在大数据的时代背景下，教师应充分借助互联网等媒体技术，引进微课、翻转课堂等现代化的教学手段，精选优质网络教学资源，拓展学生数学思维培养的空间，使学生的学习不受时间和空间的限制，让线上资源的直观性和形象化使枯燥的数学知识更加趣味化，教学更有活力，最终实现综合效益最大化。