应用技术类院校《积分变换》教学的几点思考

崔汉哲 上海电机学院

一、引言

我国的高等教育中，应用技术类院校占有重要的地位。它们所培养的广大实践应用型人才，在我国的社会经济发展中有不可或缺的重要作用。在应用技术类院校的各类理工科专业中，《积分变换》是重要的数学基础课。它以《高等数学》、《复变函数》等为先修课程，在自然科学和工程技术各专业中有广泛而重要的应用。因此，在应用技术类院校中如何结合自身特点，教好《积分变换》这门课程，是一个很有意义的课题。

二、结合实际，突出教学的应用背景

顾名思义，应用技术类院校重在“应用”二字。它和一般综合性大学或师范类院校有所不同，是以工程技术、实践应用类专业为主的高等院校。应用技术类院校培养的人才，应该具有较强的实践能力，能较直接的适应社会各行各业日新月异的发展。而《积分变换》课程的教学目标，也是为电气、通信、自动化、微电子、力学等专业学科提供数学工具，使学生具备解决具体问题的实际能力。课程中主要学习的傅里叶变换和拉普拉斯变换，在后续的专业课程（如《信号与系统分析》、《数字信号处理》）中有大量的实际应用。这就必然要求，任课教师不能把《积分变换》当成单纯的数学课来上，而是要结合具体的应用背景，着重阐明数学概念的工程或物理含义，展示数学定理和公式的实际应用。

例如，从教学的一开始，教师就要向学生强调积分变换数学概念的实际意义，以使学生明白积分变换究竟是在“做什么”。如傅里叶变换F(ω)=F[f(t)]中的f(t)，自变量t代表时间（time的头字母，因此该自变量不适合用其它字母表示），于是将f(t)称为时域函数；而F(ω)中的ω代表频率，于是将F(ω)称为频域函数或频谱函数。在后续的专业课程如《信号与系统分析》中，这些函数都代表信号。《积分变换》课程里，傅里叶变换是将时域函数转化成频域函数。在专业课程中，傅里叶变换就是将时域信号转化为频域信号。而具体的实际问题千变万化。某些情形下，信号在时间域上处理比较方便，而另外一些情形，信号则可能在频率域上处理较为方便。这就意味着，积分逆变换和变换同样重要。学生不但要学会把时域函数转换为频域函数，同样也要掌握频域函数转换为时域函数的方法。《积分变换》课程中，时域函数与频域函数相互转换，本质上就是同一个信号在时间域和频率域上互相转换。这是《积分变换》课程最基本的“纲”，而只有结合实际的应用背景，才能清楚的把它讲透。纲举目张，学生对课程的学习目标也就完全清楚了。

又如，在积分变换的时域位移性质以及卷积定理中，都会有一个前提条件，要求时域函数f(t)满足当t＜0时，f(t)=0。如果没有实际的应用背景，学生就很难明白这个条件到底在说什么。而从应用角度看，f(t)就是时域信号，例如系统的输入输出、即电流电压之类。因此t＜0“直译”即为“时间小于零”，也即计时尚未开始，系统还没有工作。此时的各类输入输出也即时域信号当然为零，即f(t)=0。从实际出发，这一条件是再自然不过的。如此解释，学生就可以充分理解定理条件，应用定理也更能得心应手。

三、充分考虑与后续课程的衔接，合理安排教学重点

《积分变换》课程的教学目标是为后续专业课程提供数学工具。对于刚刚掌握微积分和复变函数基本知识的大二学生而言，系统掌握这些数学工具不是一件很轻松的事，因此需要一门专门的课程进行系统讲授。但在以后的专业课程中，甚至在毕业后的工作岗位上，除了本课程中所学习的傅里叶变换或拉普拉斯变换，学生很有可能还会遇到其它类似积分变换的数学工具。例如在《数字信号处理》中，有离散傅里叶变换（DFT）、快速傅里叶变换（FFT）、Z变换等，这些都属于序列变换，是积分变换的“离散版本”。对于这些数学工具，由于学分、课时等现实条件的限制，不太可能再开专门的数学课程，完整学习之后再学专业课程，而是要在专业课程的学习中边学边用。这对学生的能力就提出了更高的要求。

从先学后用，到边学边用、在“用”中学，这些能力不是凭空而来，而是在不断的学习实践中，逐步练习积累而得。这就要求教师在讲授《积分变换》课程时，必须充分考虑和后续专业课程的衔接，合理安排教学重点，注重培养学生的实践能力和自学能力。

另外在具体的课堂教学中，教师需要在严格的数学推导和讲述概念、定理的直观意义之间，达成良好的平衡。某些概念，如果从数学上严格处理，可能会陷入繁琐的定义和冗长的论证，花费较多的课时，学生理解可能仍有难度，对后续课程的实际应用帮助又不大，得不偿失。这时教师就需要删繁就简，突出重点，使学生真正学到有用的教学内容。

例如，单位脉冲函数（又称单位冲激函数、Diracδ-函数）δ(t)在整个《积分变换》课程和后续的专业课程中有着核心的地位。该函数最早由英国物理学家Dirac引入，但最初的定义，从数学角度看并不严格。因为该定义中，函数在t=0处的函数值被定义为“无穷大”。为了从数学上严格描述该函数，数学家发展了广义函数理论，需要用到线性连续泛函的知识，或将该函数定义为一系列弱收敛函数的弱极限[1]。但所有这些都远远超出了非数学专业学生所能掌握的范围。而且这个严格的数学定义，并不能大幅增加大多数工科学生对该函数物理和工程意义的进一步理解。反而是最初从数学角度看不甚严格的定义，实际应用时却更为方便。因此教师应该采用的定义即为，对于任意a＜0＜b。使用该定义，可以方便清晰的说明δ(t)的各种性质，学生也能更顺利的学习后续专业课程。

结语：通过以上几点探讨可知，在应用技术类院校《积分变换》的教学中，教师若能从实际出发、突出教学的应用背景，并合理安排教学重点、顺利衔接各类后续课程，则可收到良好的教学效果。从而为学生后续的专业学习打下扎实的数学基础。