求解BBM方程的一个新的高精度线性化差分算法

沙婵娟， 张 虹

(1.山西大学数学科学学院， 太原 030006； 2.西南交通大学希望学院， 成都 610400)

本文考虑如下带有非线性扩散项和耗散项的Benjamin-Bona-Mahony(BBM)方程的初边值问题：

ut-uxxt+ux-uxx+uux=0，(x,t)∈

(xL,xR)×(0,T]

(1)

u(x,0)=u0(x)，x∈[xL,xR]

(2)

u(xL,t)=u(xR,t)=0，t∈[0,T]

(3)

其中u0(x)是已知光滑的函数.方程(1)是Benjamin等[1]在研究非线性弥散系统中长波的单向传播时为考虑非线性波在传播中的耗散原理而提出的，是对描述浅水波损耗现象的KdV方程的修改.对这类问题的研究有重要的理论和应用价值.

文献[2-4]研究了方程(1)解的存在唯一性及收敛性.文献[5-12]对BBM方程进行了数值方法研究，但一般都只具有二阶理论精度.文献[13，14]对问题(1)-(3)分别提出理论精度为O(τ2+h4)的两层非线性差分格式和三层线性差分格式，但非线性差分格式数值求解时需要非线性迭代，耗时较多.本文先对方程(1)进行线性化离散处理，仅需在时间层将非线性项uux部分外推到n-1层即可保证时间层具有二阶理论精度.然后，利用Richardson外推[13]的思想在空间层进行外推，本文使空间层具有四阶理论精度，从而对问题(1)-(3)构造一个新的三层线性差分格式.在不能得到其差分解的最大模估计的情况下，本文综合运用数学归纳法和离散泛函分析方法[15]，直接证明了该格式的收敛性和稳定性.数值算例表明，相对于文献[14]的三层线性格式，该格式的精度有了大幅度的提高.

2 差分格式及其可解性

对问题(1)～(3)考虑如下有限差分格式：

(j=1,2,…,J-1；n=1,2,…,N-1)

(4)

(5)

(6)

(7)

引理2.1[15]对n=0,1,2,…,N，恒有

定理2.2若时间步长τ充分小,则差分格式(4)～(7)是唯一可解的.

证明 用数学归纳法.显然，U0和U1是由(5)式和(6)式唯一确定的.假设U0,U1,…,Un-1,Un(n≤N-1)是唯一可解的.现在我们来考虑(4)式中的Un+1,则有

(8)

将(8)式与Un+1作内积，由边界条件和分部求和公式[16]有

(9)

由引理2.1有

(10)

又

(11)

将(10)和(11)式代入(9)式，并利用引理2.1，整理有

于是，只要取τ足够小，使得当1-Cτ>0时，方程组(8)仅有零解.因而，差分格式(4)～(7)中的Un+1是唯一可解的.

3 差分格式的收敛性与稳定性

差分格式(4)～(7)的截断误差定义如下：

(12)

(13)

(14)

(15)

由Taylor展开可知，当h,τ→0时，

(16)

引理3.1[13]设u0∈H2.则初边值问题(1)～(3)的解满足

‖u‖L2≤C, ‖ux‖L2≤C, ‖u‖L∞≤C.

证明 数学归纳法.记

由(12)～(15)式减去(4)～(7)式得

Qj(j=1,2,…,J-1;n=1,2,…,N-1)

(17)

(18)

j=1,2,…,J-1

(19)

(20)

其中

由引理3.1以及(16)式知，存在与τ和h无关的常数Cu和Cr使得

Cr(τ2+h4)n=1,2,…,N-1

(21)

再由初始条件(5)以及(18)式可得以下估计式：

‖e0‖=0，‖U0‖∞≤Cu

(22)

现假设

l=1,2,…,n(n≤N-1)

(23)

其中Cl(l=1,2,…,n)为与τ和h无关的常数.则由离散Sobolev不等式[16]和Cauchy-Schwarz不等式有

(24)

‖Ul‖∞≤‖ul‖∞+‖el‖∞≤

(25)

(26)

整理得

(27)

由引理3.2以及微分中值定理有

即

(28)

同理

(29)

再取τ和h充分小,使得

(30)

则由引理2.1、引理3.2以及(28)～(30)式有

‖en+1‖2+‖en‖2)

(31)

‖en+1‖2+‖en‖2)

(32)

(33)

将(31)～(33)式代入(27)式整理有

τ‖rn‖2+2(Cu+1)(‖en+1‖2+

(34)

将(34)式从1到n递推，由引理3.1得

(35)

又

T·(Cr)2(τ2+h4)2

(36)

将(23)、(36)式代入(35)式，利用离散Gronwall不等式[16]，取时间步长τ充分小以满足

于是有

(Cn+1)2(τ2+h4)2,n=1,2,…,N-1，

最后，由离散Sobolev不等式有

‖en‖∞≤O(τ2+h4),n=1,2,…,N.

定理3.3设u0∈H2.若时间步长τ和空间步长h充分小，则差分格式(4)～(7)的解满足

证明 对于充分小的τ和h，由定理3.2有

注定理3.3表明差分格式(4)～(7)的解Un以‖·‖∞关于初值无条件稳定.

4 数值算例

当t=0时，由于耗散还没有产生，所以在数值实验中，我们把问题(1)～(3)中的初值函数取为RLW方程的初值函数[14](t=0时)

由于不知道方程(1)的精确解，我们用类似文献[13-14]中的处理方法将细网格 (τ=h=1/160)上的数值解作为精确解来估计误差.固定xL=-20，xR=40，T=10.就τ和h的不同取值，对本文的格式(记为格式1)和文献[14]的线性格式(记为格式2)进行了比较，在几个不同时刻的误差及其对理论精度的检验见表1、2. 其中

Order=log2Rn.

表1 两个格式在不同时刻的l∞误差比较

表2 对格式1的理论精度O(τ2+h4)的数值检验

从数值算例可以看出，本文的格式是可行的.由于格式1在数值计算时的已知层(第n-1层)很少，所以误差传递累积也较少，从而格式1比格式2具有更高的精度.