初中几何教学难点调査研究

[摘要]文章通过调查问卷、访谈，整理几何教学难点和诊断学生在几何学习中存在的问题，根据各种理论，结合平时教学中的经验制定了相应的策略，并在实验班中进行用策略的教学实验，实验后总结了一些解决问题的方法和解决学生几何推理难点的常用策略.

[关键词]几何推理;几何教学难点;教学策略;调查研究

作者简介：冯国虎（1974），本科学历，中学一级教师，从事初中数学教学工作，曾获区优秀教师称号

目前对几何学习的研究主要集中在对几何图形的研究，几何证明方法个别题（一类题）的解题策略的探讨（包括一题多解、变式、辅助线的添加等），以及各个层次学生几何认知差异的比较，但对学生几何学习困难和成因形成的具体分析较少，特别是从通法上寻找解决几何教学难点的研究较少.另外，

一般的研究都从教师的角度出发，而不是从学生的认知过程、学生的自我反思、学生的自我调整的视角来审视学生在几何学习中的困难，更少有针对学生几何学习存在问题的诊断及其解决的策略和方法的研究，而这正是本文研究的方向

目前初中几何学习的现状

长期以来，初中生数学能力发展水平的一个关键的转折点，或者说是划分学生是否具有数学天赋的一个分水岭就是初中的几何证明.几何证明有严格的逻辑要求，让学生普遍认为几何太抽象、太难学从解题上看，学生不知从何着手，一部分学生虽然知道答案，但叙述不清楚，说不出理由，不少初学几何的学生无法越过符号语言表述的障碍，本来会表达的意思都被符号语言弄糊涂了，对逻辑推理的证明过程几乎不会写.越是如此，学生越害怕几何证明题，越无从下手，越不知道要怎么做马瑞雅研究认为欧氏几何的特点是以直观图形为载体，在几何计算和证明的实践活动中，图形的千变万化使得学生在解题过程中难以抓住图形的本质和重点，对题目所给信息不能正确提取和重组，找不到解决问题的突破口而无从下手.同时对基本的逻辑常识有欠缺，对逆命题、反证法等理解不了리.大多数学生几何证明停留在模仿阶段，遇到没见过或需要作辅助线的题目时束手无策.东北师范大学马海燕研究认为，初中生对证明的一般性和证明的必要性掌握得不够扎实，大部分学生认为关于图形的性质，实验、

测量等方法可以充分说明，没有必要再通过证明赘述，他们还停留在实验几何到论证几何的过渡期，没能达到《数学课程标准》的要求.内蒙古师范大学张丽红研究认为，差生被试倾向于采用单向推理策略和倾向于运用回顾性监控策略，解决问题策略不合理.在几何学习上感到困难，学习不得法是其中一个重要的根源4.更重要的是学生在几何学习中，好多学生不喜欢证明题，尤其是初三年级的学生，大部分学生都觉得证明题难.虽然在被调查的学生中，有一半的学生可以解答证明题，但是只能证明一部分.如果难度加深点，学生就会一筹莫展

探究问题，制定策略

1.调查问卷

为了了解学生在几何推理中存在难点的具体情况，笔者对所教的九年级学生（具体的对象是九年级（3）（4）（6）班的学生，人数为90，其中男生43人，女生47人）进行了問卷调查，回收90份.

根据问卷调査发现：认为几何难学的人数为72，占总人数的80%;对几何学习非常有兴趣和有兴趣的人为50人，占总人数的555%，没有兴趣的人数为6，占总人数的6.7%;知道几何证明是说理和由因果关系的逻辑段组成的推理过程的人数为81，占总人数的90%;在几何学习中遇到困难如（可多选）经常漏看、错看题目条件，导致写不出结果的人数为29，占总人数的32%;图形稍微复杂，不能准确利用图形信息证明的人数为54，占总人数的60%;不会把文字语言转化成几何中的符号语言的人数为28，占总人数的31%;联想能力不够，想不出证明思路的人数为58，占总人数的64%，其他原因的人数为2，占总人数的2%.在遇到从没见过的几何题时，你的心情如何？很焦虑，脑子一片空白想不下去的人数为18，占总人数的20%;开始很紧张，慢慢平静就会继续思考的人数为52，占总人数的58%，其他情况的人数为20，占总人数的22%.几何课上，你喜欢怎样的学习方式？喜欢教师一个人讲，一讲到底的人数为0;无所谓哪一种方式，只要听得懂就可以的人数为56，占总人数的62%;教师在讲解中穿插提问的人数为22，占总人数的24%;其他人数为12，占总人数的1-4%.

从调査问卷发现，几何学习对学生来说普遍觉得有困难，但大部分学生对几何学习还是感兴趣的、没有丧失信心.他们学习几何的最大困难是推理能力弱，具体体现在：首先是联想能力不够，稍微难点的题没有证明思路和图形复杂时不能准确地从图形中获取信息证明（图形语言到符号语言的转化不顺利）：其次是文字语言到符号语言的转化;最后是审题不仔细.结合平时教学中的经验，归纳几何推理有以下几种难点：①对定理等使用条件不熟悉、不能作合理的联想、复杂图形中提炼不出基本图形等常见问题;②分析总结缺方法：③三种数学语言转换欠缺.

2.访谈

选好访谈话题（测试卷）和对象，制定访谈要求，进行一对一的访谈，整理几何教学的难点和诊断学生在几何学习中存在的问题

（1）访谈对象

受到条件的限制和研究的需要，笔者访谈的对象以自己教学班的学生为主.在研究期间，笔者所教学的班级刚好从八年级升到九年级，所以对同一个学生有八年级时的访谈和九年级时的访谈，访谈的人数为6，人员的确定是笔者根据学生记载的数学成绩进行分层，共分三个层次（A层次、B层次、C层次），每个层次的学生随机抽取2人.

（2）对访谈对象的试题编制

①根据学生的情况每个层次在八年级和九年级编制了难度不同的试题各2个.即八年级A层次2个试题，八年级B层次2个试题，八年级C层次2个试题;九年级A层次2个试题，九年级B层次2个试题，九年级C层次2个试题.

②访谈试题编制的内容：八年级几何研究的重点是特殊的四边形，因此选择八年级下册特殊四边形中的内容;九年级上册几何研究的重点是圆和相似，因此选择的内容为圆和相似的综合题.

③根据试题的编制和学生分层中可能存在的不合理因素，在试题的检测中遵循A层次的学生先做A层次的题，若做不出就做B层次的题;B层次的学生先做B层次的题，能做再做A层次的题试一试，不能做就做C层次的题;C层次的学生先做C层次的题，能做可以继续做B层次的题，不能做则只要求画出已知、求证和备用条件并写出来.

（3）访谈结果

①通过对6位选好的访谈学生在八年级的访谈测试（每个学生在规定的时间内进行访谈测试）进行分析，得到学生在访谈测试中出现的问题，从而诊断出学生在学习中存在的问题

②通过对6位选好的访谈学生在九年级的访谈测试（每个学生在规定的时间内进行访谈测试）进行分析，得到学生在访谈测试中出现的问题，从而诊断出学生在学习中存在的问题.

3.制定策略

通过调查问卷、访谈，整理几何教学难点和诊断结果得知学生在几何学习中存在的问题，根据SOLO分类评价法、最近发展区、建构主义理论、刺激一反应学说等理论，结合平时教学中的经验制定了相应的策略：

（1）策略的步骤：仔细审题（找出已知条件、隐含条件及问题）一理解题意（利用定理、定义、概念等从已知条件、隐含条件中推出相应的结论，作为

备用条件）一确定思路（结合问题组织已知条件、隐含条件及备用条件，选择跟问题有关的有用信息）一实践反思（根据解题思路写出证明过程，反思整个推理过程，若不严密或不准确再重新审题，重复前面的步骤）

（2）策略的实施：策略实施对象有两个班：未用策略的班级记为A班，使用策略的班级记为B班.分析A班学生现有的认知水平、知识水平和能力水平，根据本堂课教学设计的意图和预设，用常规的方法在A班中教学，在B班中使用策略教学，对照用和不用策略之后的效果.

研究结果

1.解决几何教学难点的方法及解决学生几何推理难点的常用策略在调查和个案研究的基础上设对照班（A班）和实验班（B班），在实验班中进行解决几何教学难点的策略研究，取得了一定的实验效果，得到了若干解决几何教学难点的方法和解决学生几何推理难点的常用策略：（1）利用有效的复习课进行针对性提高改进;（2）利用思维导图整理知识网络和理顺解题的一般步骤;（3）利用备用条件法让学生由易到难动手实践;（4）基本解题思路的整理;（5）作业的分层批改;（6）同伴互助学习

（1）利用有效的复习课进行针对性提高改进

每到中考复习时，教师都在纠结怎么复习，是以练题复习知识点呢，还是确定知识点选择相应的题进行练习？想想都觉得各有所不足，特别是总复习，已经不是单一知识点的问题，一个题往往可以从不能的角度（知识点）出发解决，而且要让学生能灵活地应用知识，培养解题的能力，笔者觉得“学生先行，交流在中，教师断后”是一种不错的复习模式.

例如，在复习“直线与圆”的一节课之前，笔者在设计问题编写时其中一问的方法只考虑了三种，开始还担心学生能不能想到，若想不到怎么办，如何引导.总觉得不能考虑周全，想想怎么做都不周全，不如大胆地把课堂的主动权交给学生（学生先行）.在上课时及时找到学生不同的解法（对错先不管），马上让他们在黑板上写出来，不仅在交流中有据可寻，学生的思路也会更清晰地展现在每个人的面前，而且学生的思路、错误、困难都一目了然（交流在中），教师在讲评（教师断后）中也可以充分利用这些资源提高课堂交流的效率和质量，也便于其他学生对解题思路做出判断和整理.

（2）利用思维导图整理知识网络和理顺解题的一般步骤

①学生很多时候对所学的概念、定义、定理理解不清、掌握不扎实，而课后复习是现固知识，提高运用知识解决问题能力的重要环节.学生对运用思维导图这种方式进行复习总结都表现出了一定的兴趣，因此在复习中让学生独立对整章知识进行总结，根据自己的理解，理清数学概念、规律及其区别、联系，区分重点、难点，画出思维导图，例如，图1是学生对四边形这一内容的整理.

②思维导图作为一种可视化的思考工具，以图形化的方式把题中所给的信息结构化，使其便于更好地分析、理解、联想、综合并产生新的想法，使教师从解题过程的解释和阐述中解放出来，着重于引导学生在探究解题思路的过程中主动建构解题的思想和方法，从而让学生体验到解题的全部过程达到真正理解.我们从思维导图的核心画法出发，把解题分成以下几个步骤（如图2）

准确审题是解题的先决条件，思维导图从题中找出关键词的过程使学生更加重视分析、理解各种信息，并加强信息的全面性与关联性，使信息更加系统化、更具条理性，极大地提高了审题的准确性，接下来对关键词进行不同角度、不同层次的研判并展开逐级联想，联想所能想到的知识点和解题的思想、方法、技巧等，然后经过提炼、删除、综合等过程得到问题的解决方案.

（3）利用备用条件法让学生由易到难动手实践

在平时的练习以及在各类中考题的难题中，学生在解题时往往容易纠结于难题的一两问，而不从已知条件出发，寻找可以得到的备用条件，然后从这些备用条件的组合中寻找解决问题的策略.当然，解决问题特别是难的综合题不是一蹴而就的，需要一步一步地由易到难去解决.很多时候读懂题意仍然不够，只有把所有的能得到的备用条件都写出来并在图中画出来之后才能算是真正理解了题意，在此基础上再去组合备用条件，选择各种方案进行尝试，问题得到有效解决也就近在眼前了.

（4）基本解題思路的整理

好的方法只有真正落实了方能见效，因此克服学生的惰性，更真实地反映学生在学习中存在的问题成为当务之急.学生在平时审题时往往粗枝大叶，没有认真读题，懒得从已知条件推出备用条件，也懒得把已知条件和备用条件在图中画出来，从而造成对题意的理解不清，不能准确地解答问题，造成教师不能准确地获得学生真实的学习情况，降低了教学效率.在平时的学习中学生也不能自觉、自然地使用此方法，往往在教师的提醒下或遇到困难时才会去使用，如何把策略内化到学生的几何推理过程中，需要在教学中不断地强化和使用，渐渐把方法的使用培养成学生解题的习惯.通过基本解题思路的整理，可以提高学生分析问题、解决问题的能力.

（5）作业的分层批改

教师在教学目标、教学过程中应该充分考虑到学生的实际水平，在学生所处的水平上或者在稍高一级的水平上进行教学，学生才能够得到发展.因此教师借鉴策略诊断学生的思维水平和存在的问题，直观地知道学生属于什么思维水平，并根据低一级水平向上一级水平过渡主要的问题是什么的同时，也要让学生明确自己的状况（会什么，不会什么，不会的原因是什么），反思自己的现状，让他们找到提高思维水平和解决问题的切入点.教师要准确找到学生的实际水平，对学生的作业进行分层批改是一种不错的选择.作业分层批改可以帮助教师找到相同层次学生的共性或类似的问题和不同层次学生存在怎样的差异，更有效地找到各个思维水平存在的问题及低一级水平向上一级水平过渡需要什么，然后需要怎么做就很清楚了.

（6）同伴互助学习

学生的社会体验是个人开展活动、发展内在心理功能以及形成个人文化的前提条件.同伴互助学习实质上就是聚焦于课堂教学中常常被忽视的生生之间互动这一社会活动，从而发挥其所具有的潜在的积极作用.与教师交流相比，同学之间的交流会更轻松、更顺畅，因为师生之间总是存在着差异，包括智力、理解力、已有经验知识等差异;而与同伴交流，学生可以更好地表达自己的疑惑;另外，学生之间有着相同的学习背景，对于同一个知识点有相似的认知程度，他们可以更清楚地知道疑惑出现的原因，并对其疑惑进行解答.在同伴互助学习中，学生与同伴之间根据策略能判断自己或同伴的思维水平和存在的问题，直观地知道自己或同伴属于什么水平，学会反思，也学会帮助同伴，改进几何学习，提高几何学习的效率和效果

2.研究的成果

（1）前、后测成绩对照

前测成绩（八年级第一学期、区统测试卷）：

后测成绩（九年级第一学期、区统测试卷）：

通过前测和后测的常模分析，B班在平均分、优秀率、后30%平均分上比A班都有显著的提高、进步，合格率和前40%平均分两者相比虽没有显著的进步，但有进步的趋势，这说明策略的使用还是非常有效的.

（2）研究的价值

笔者对自己所在学校的一批学生（在七下期中与八上期中）和另一批学生（在八下期中与九上期中）的数学试卷进行了分析，七下期中试卷几何题总分为34分，占总分120分的28.3%，八上期中试卷几何题总分为52分，占总分20分的43%;八下期中几何题总分为30分，占总分120分的25%，九上期中几何题总分为37分，占总分120分的31%.

P=几何总分/总分，M=调查总人数中超过P值的人数，N=M/调查总人数

调查显示几何学习的情况对学生数学的学业成绩产生了重要的影响，因此发现学生在几何题中存在的问题并帮助其改进，进而帮助他们提高解决几何问题的能力和学业成绩，这显得更加重要与急迫，这也是本研究的价值所在.

参考文献

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