在“一题多解”中渗透数学核心素养

[摘要]在平常的教学中，教师可以有针对性地、合理地把中考真题或相关典型问题融入课堂，通过对题目多种解法的探究，让学生在思考、体验、反思和总结中真正有效地促进他们核心素养的培养与提升

[关键词]核心素养;一题多解;运算能力;思想方法

作者简介：许小颖（1978-），本科学历，中学一级教师，曾获福州市优质课比赛三等奖

当前数学试卷中的压轴题具备较高的选拔功能，它对学生的核心素养要求较高，也对教师如何引导教学要求很高.文章以2020年福建中考数学试卷第25题为例进行分析.

试题呈现

试题（2020年福建中考）已知直线41：y=-2x+10交y轴于点A，交x轴于点B，二次函数的图像经过A，B两点，交x轴于另一点C，BC=4，且对于该二次函数图像上的任意两点P1（x，y1），P2（x2，y），当x》x2≥5时，总有y》y2（1）求二次函数的表达式2）若直线：y=mx+n（n≠10），求证：当m=-2时，l∥l;（3）E为线段BC上不与端点重合的点，直线12：）=-2xャ经过点C且交直线AE于点F，求△ABE与△CEF面积之和的最小值.

数学思考

这是一道综合性较强的函数压轴题，从知识层面上看，主要考査了待定系数法、解方程组、一次函数和二次函数的图像与性质、相似三角形的性质、三角函数、配方法、反证法等基础知识：从数学能力上看主要考査符号意识、运算能力、推理能力、几何直观创新意识;从思想方法上看，主要考査了学生对数形结合思想、函数与方程思想、分类讨论思想的理解和运用本题对学生的严谨性思维及分析问题的能力要求较高，特別地，第（3）小题的运算较为复杂.2011年版的《数学课程标准》对每一个学段的运算需要达到什么样的水平都提出了明确的要求，它不仅是数学课程中第一部分“数与代数”的重要内容，还与其余三部分有着密切的联系.而“一题多解”更体现了运算的灵活性.它可以更有效地加强学生对数学运算和数学知识的认知和理解.对于具体问题，我们要知道“算什么”“怎么算”“依何算”例如，第（3）小题求两个三角形面积之和的最小值，我们应很快联想到求面积之和的最小值的常用方法是什么，而它实质上又是让我们算什么，应怎样结合问题合理设元，进而选择最优算法.

试题分析

下面仅对第（2）（3）小题展开分析.

1.第（2）小题的解答

第（2）小题在一次项系数相同的前提下，证明两直线平行.学生往往不能领会命题者的意图.我们可以尝试从代数与几何两个角度进行证明，其中几何解法容易联想到平行线的判定，通过两角相等导出两直线平行，或者通过平行四边形或平移的知识推导出平行，但在用相似（或三角函数）证明角相等从而推出線平行时，容易因为思维不严谨不能进行完整的分类而失分.对于代数解法，我们容易联想到“以形导数”，把次函数问题与方程（组）知识相结合，由方程（组）无解，推导出两直线无交点（即不相交），进而推导出两直线平行，用这种方法表述更简单一些也更易得分，但学生也会由于思维深刻性不足而漠视“n≠10”的条件，从而导致失分.

（1）几何解法

解法1（三角画数证法）由直线1：）=2x+10与x轴、y轴的交点，可得OA=10

OB=5，从而求得tan∠ABO=2.在m=-2的条件下，可得直线2：y=-2x+n与x轴、y轴的交点分别为0，M（0，n）.可以分三种情况进行讨论：①当n》0时，如图1所示，容易求得tan∠MNO=2，所以tan∠ABO=tan∠MNO.所以∠ABO=∠MNO.所以l1∥l，②当n0时，如图2所示，容易求得an∠MNO=2，所以tan∠ABO=tan∠MNO.所以∠ABO=∠MNO.所以1∥2.③当n=0时，如图3所示，此时直线的方程为y=-2x.取直线2上的点G（-1，2），则可求得tan∠COH=2.所以tan∠GOH=tan∠ABO.所以∠COH=∠ABO.所以1∥2综上可知，l∥l2∠ABO=∠MNO.所以l1∥l2.同理可证，当n=0时，4l2.综上所述，l4∥l2解法3（平行四边形证法）当nチ0时，设直线2与x轴、y轴分别交于点N和点M，则N、M（0，n）.如图4所示

过（1，0）作PP∥y轴，其中点P在直线l2上，点Q在直线1上.利用l，的解析式可求得Q（1，8），P（1，n-2），所以PP=10-n|.又AM=10-nl，由AM∥PQ，AM=PQ，n≠10，推导出四边形AMPQ是平行四边形，所以l1∥2.同理可证，当n=0时，l1∥l2.综上可知，l∥l2

解法4（平移证法）如图5所示，记P（x0，-2xo+10）是直线l：y=-2x+10上任意一点，将点P向上平移（n-10）个单位长度后得到点Q，可得Q（x，-2xo+n）.又点Q在直线2：y=-2x+n上，n≠10，所以直线1是由直线1向上平移（n-10）个单位长度得到的，所以l∥l2

（2）代数解法

解法5（正面解方程组）由得直线k：）=n，交ノy=-2x+10由℃+n≠10，得方程组无解，所以1与l2无交点、所以l1∥l2

解法6（反证法）若l1与2不平行，则和2必相交，可设交点为P（x0，y0）.由0=-2xo+10解得n=10，与已知n≠10y0=-2o+n，

矛盾，所以l1与2不相交.所以1∥l2解法7因为n≠10，所以对于任意的x，均有-2x+10≠-2x+n，即y1≠y2.所以1与l2永不相交.所以1∥l2

2.第（3）小题的解答

在第（2）小题的基础上，易得1∥l通过对几何图形的观察，易得△ABE与△CEF相似，再由相似三角形的性质可得这两个三角形面积之间存在的数量关系.这就让我们联想到，两三角形的面积之和可以用含某个変量的式子来表示.因此，本题基本明确用函数表达式的方式求最小值.那么，我们设哪个元更容易计算呢？由于相似三角形相似比的知识与分式计算息息相关，而分式问题，分母越小越容易算，因此设分母为未知数是最合适的方法.不过本题所构建的函数解析式不是学生所熟悉的函数，碰到这样一个陌生函数，它的最值又该如何求呢？从学生的反馈来看，学生普遍由于配方法及主元思想不足、计算能力不够，导致面积的最小值求错

（1）几何方法

教学导向思考

1.立足于教材的同时，注重知识的发生、发展过程，提高学生的理性思维能力教材是教学的根本，作为教师，我们应该仔细分析数学课程的教材体系，不能简单地教材安排什么就教什么.我们可以多想想教材为什么这么安排，以及这样安排的合理性和科学依据是什么.备课时，我们不仅要把握每节课的知识教学目标，更要注重前后知识联系和思想方法的传承，这样教师充当的角色就不仅仅是“知识的搬运工”了.如果学生能亲自动手探究问题并进行验证，那么他获得的将不仅仅是知识，更是学习的方法与手段.

如上述中考题第（2）小题中k的意义，教学中从新课的“直观感知”到“理性思维”，要螺旋式地发展：新课中感知k相等，则两直线可以通过平移得到;章节复习中要提炼出“x每增加1，y的增加量即为k”并能解释;总复习时就要进一步提升到“k”与“tanc”的关系并能解释.通过知识的拓展延伸，先让学生感知知识的发生、发展过程，再在知识的相关处、来龙去脉处及形成上多下功夫，这样学生对各知识的理解才能更加透彻，知识脉络才会更清晰，分析试题时才能在知其然的基础上更知其所以然，从而促使解题更“快”、更“准”

如，上述中考题第（1）小题，为什么那么多的学生二次函数的表达式求错呢？为什么有学生判断出点C的坐标是（9，0）呢？究其原因，是学生没有知其所以然.由BC=4，B（5，0），点C在x轴上，我们可以判断出点C在点B的左侧或右侧，于是可得C（1，0）或C（9，0）.又由x》x2≥5时，总有y1》y2，可以联系对称轴知识，判断出对称轴=-≤5，进而判断出点C的坐标只能为（1，0）

2.强化运算能力培养

運算能力不是单一、孤立存在的数学能力，其与数学逻辑思维有着密切的联系.学生往往会认为运算即机械的计算，不懂得概念、公式理解的重要性.其实，对于公式，我们不但要懂得“正用”，还要学会“逆用”，更要“活用”，这就需要学生能够理解概念，并懂得公式的推导，从而提高运算能力，减少错误.比如，上述中考题的第（3）小题，配方、均值不等式等计算方法的运用学生就会错误百出.另外，我们还应指导学生重视简捷运算和灵活运算.要提高学生的运算能力，“一题多解”就是一种很好的训练方法，因为通过不种解法的区别、筛选，他们可以比较哪种解法既正确又简捷，从而在有限的时间里确定更加合理的解法.

3.关注学生作图能力，重视数形结合思想方法的运用

在学习过程中，学生经常会碰到些数量关系比较隐蔽的实际问题，此时若能指导他们用图形把其中的变化关系表示出来，就能更直观形象地解释题意，帮助他们及时发现数与数之间存在的内在联系，这对题目的难度降低与突破有莫大的好处.而数形结合的实质就是把抽象的数学符号语言与直观形象的图形语言结合起来，实现“以形助数”与“以数辅形”，它要求课堂上要重视数学三种语言的转化训练.函数问题无疑是数形结合思想运用的典范，为此，课堂上我们要有意识地为学生创造画图机会，别因为所谓的课堂效率而常常由教师代劳，显然此中考题就考查了数形结合思想方法的应用.

4.关注初高中知识的衔接近年来，注重初高中知识衔接问题是中考数学的一大特点，很多高中学习的知识点在初中的学习中也稍有涉猎.比如，初中教材中的“统计和概率”，试题中时有出现的含有参数的函数、方程、不等式等问题，在初中阶段的学习中它们更侧重于定量的计算，而高中阶段还需要做定性的研究.解答上述中考题，对陌生函数的最值进行研究时，所使用的配方法、均值不等式法等，就需要我们做好初高中知识方法衔接的讲解与应用.

综上所述，中考、高考这些选拔性的考试具有较强的导向性，因此，如何培养、提高学生的数学思维能力，有效地将培养核心素养贯穿数学教学的全过程，是实际数学教学的重要一环.作为一线教师，我们既要授之以“鱼”，更要授之以“渔”，让学生真正高效地学好数学.