关于“锐角三角函数”教学的探究思考

[摘要]“锐角三角函数”内容对学生而言学习难度较大，课堂教学应把握数学与生活节点、新知与旧知节点，合理整合教材重点，设定教学方法，引导学生探究，促进学生知识与思维的双重提升.

[关键词]锐角;三角函数;正弦;教法;过程;思想

作者简介：尤方成（1979-），本科学历，中学一级教师，从事初中数学教学工作

“锐角三角函数”是苏科版九年级下册的章节内容，属于“空间与图形”领域的重要部分.探究锐角三角函数中锐角与比值的对应关系，可以使学生深入认识函数的定义域、值域，深刻了解函数的基本概念.正弦函数是“锐角三角函数”学习的起点，其概念教学、数学建模、探究方式等可为后续余弦函数、正切函数的学习提供思想和方法上的弓导.下面以正弦函数为例，展开“锐角三角函数”教学探究.

问题分析与教法探究

1.教学问题分析

学生对三角形相似、勾股定理、函数等知识已有初步了解，这可为本节“锐角的正弦函数”的学习提供知识基础，同时，学生也具备相应的逻辑思维能力和推理能力.但正弦函数是几何与函数的融合，对学生而言知识跨度较大，学生学习时依然存在一些困难，总体而言，主要有以下两大困难.

困难一：正弦函数的自变量为角度，与一般函数存在较大差异，学生首次接触，很难联想到利用直角三角形模型进行转化

困难二：正弦函数的概念较为抽象，与常规函数有较大不同，学生难以联系几何模型理解“在直角三角形中锐角固定则对边与斜边的比值固定”不能深刻理解正弦的概念.

对于上述两大困难，其难点依然集中在函数与几何的相融上，所以在实际教学中，建议采用数形结合、从特殊到一般的思想方法.如对于“困难一”，教学时可呈现特殊角的正弦函数值，并结合几何画板直观演示直角三角形中固定角的对边与斜边的比值关系，让学生感悟两者的联系.对于“困难二”，在教学讨论时，建议首先分析直角三角形中的30°和45角的对边与斜边之比的固定值，在此基础上讨论任意锐角，引导学生理解“锐角度数一定，则锐角的对边与斜边的比值固定”，最后，引导学生将新旧知识结合，联系函数来理解正弦函数的概念

2.课堂教法探究

合理的教学方法可以起到事半功倍的效果，学生理解时会更为深刻.教学“锐角的正弦函数”时，建议采用“探究一推理一归纳”的方式，即首先合理设置情境活动，使学生发现问题，然后引导学生结合所学进行分析推理，最后进行归纳总结，形成知识定义.教法中突出“活动设计，设问引导”教学过程中注重“学生参与，过程探究”，整个教学环节以学生为主体，以促进学生发展为教学根本.基于上述教学理念，在教学实践中建议采用如下环节来展开教学.

环节一：情境创设，新知引入环节二：新知探究，发现规律环节三：猜想证明，形成概念

另外，概念形成后还可以设计应用强化环节，利用多变问题来引导学生强化学习，理解概念，为后续的“学以致用”打基础.

教学设计与过程分析基于上述分析，教学“锐角的正弦函数”内容时，采用“探究一推理一归纳”的模式，设计活动，合理引导，让学生参与课堂探究，同时从生活实际中提取问题，引导学生逐步思考，以“探索一猜想一验证”为教学主线，重点突出，培养学生的理性思维.

1.环节一：情境创设，新知引入教学时，可利用多媒体呈现西部地区的地质情况，设置如下情境问题：为了绿化荒山，环保办计划从位于山脚的机井房A沿着山坡铺设水管浇灌坡面的绿地（如图1），经测量，斜坡与水平面所成的角为30.为使出水口B地的高度为35m，需要多长的水管？

合理设置问题，引导学生抽象数学模型，将实际问题转化为對应的数学问题，让学生独立思考，探求问题的解决方法.以情境问题作为课堂引入，能激发学生的学习兴趣，让他们快速融人课堂.

2.环节二：新知探究，发现规律

（1）问题呈现

该环节的重点是引导学生结合数学模型来探究锐角的三角函数，因此教学中可以隐去上述问题的图像背景，呈现图2的直角三角形，即Rt△ABC，然后逐步设问，引导学生思考.

设问1：请用数学语言描述上述问题的条件.（∠C=90°，∠A=30°，BC=35m）设问2：对于上述问题，所求的水管

长，实际是求图2中△ABC哪条边的长？

（AB的长）

设问3：在Rt△ABC中，30°角所对的直角边与斜边之间有怎样的数量关系？教学中，引导学生利用数学语言来表述问题，有利于提升学生的语言表达能力.该问题的探究重点是使学生初步认识到三角形中“比值”“固定值”的数学表达，为后续的结论归纳打基础.

（2）类比猜想

问题：任意作一Rt△ABC，使∠C=90°，∠A=45°，如图3，试计算∠A所对的边与斜边的比，即求的值.你可以得出怎样的结论？

追问1.BC的大小与∠A的度数是否有关？

追问2、C的大小与Rt△ABC的大小是否有关？

上述问题旨在进一步引导学生关注锐角所对的直角边与斜边，强化学生对“比值”的认识，引导学生由特殊向般过渡.基于上述问题，学生很容易发现：在已知一固定锐角的情况下，其对边与斜边的比值是一定的，不随直角角形的大小而变化

3.环节三：猜想证明，形成概念利用上述特殊问题，学生可以初步发现锐角正弦函数中的“不变”特性，但这依然停留在猜想阶段.教学时，有必要由模型入手，归纳概念，挖掘模型中的“变”与“不变”，形成相应的理论知识

教学中，建议以直角三角形为基础，绘制如图4的三角函数表述模型：在Rt△ABC中，AB为斜边，记BC为∠A的对边，AC为∠A的邻边.数学上将锐角∠A的对边与斜边的比称为∠A的正

后续进一步引导学生结合模型理解锐角正弦函数概念中隐含的规律.可以借助几何画板，绘制一个直角三角形，设定各个角的大小，然后利用软件计算出各个角在所在直角三角形中的对边与斜边的比值.另外，在设定角不变的情况下，可对直角三角形进行缩放（如图5），

进一步计算设定角的对边与斜边的比值，使学生深刻理解“在直角三角形中对于给定的锐角，锐角对边与斜边之比固定不变，其与三角形的大小无关”

思想渗透与思维提升根据《义务教育数学课程标准（2011年版）》的教学说明，课堂教学不仅是知识的传授过程，还是思想教学、思维提升的过程.对于“锐角的正弦函数”内容，教学中需要重点渗透数学的模型思想、从特殊到一般的数学思想数形结合思想，利用数学思想来促进学生思维的提升.模型思想广泛应用于解直角三角形问题中.在情境引入过程中，可以实际问题为载体，引导学生从问题中抽象模型，如图6，让学生理解问题所表述的内容，然后忽略图像中的无关事物，通过连点作图的方式建立问题模型.同时，将问题中的条件转化为相应的几何条件：斜坡与水平面所成的角为30°∠A=30°，出水口B地的高度为35mBC=35m，求水管长→求AB的长.

对于从特殊到一般的思想，可以将其渗透在概念形成和规律探究的环节中.以探究锐角正弦函数的“不变”规律为例，建议结合平面直角坐标系，在黑板上绘制图像与x轴的夹角为特殊角的正弦函数，如图7～图9.教学时，引导学生分别测量A点和B点处的垂直距离及OA和OB的长，然后计算比值，从特殊图形中发现一般的规律.

对于数形结合思想，则可以在“应用强化”环节中渗透，引导学生通过“数形对照”“以形示数”来理解思想的内涵.

如给出问题：如图10，在R△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为DBD=3，DC=4，求sin∠A

第一步，引导学生根据几何条件描述图形结构，把握图形中的垂直关系、已知线段

第二步，结合图形（图10）提取其中的Rt△BDC，由勾股定理计算出BC的长.第三步，引导学生推理其中的相似三角形→△BDCい△BCA，然后由相似性质计算出AB的长

第四步，结合正弦函数的概念，由sin∠A、BC计算出结果.

整个过程，注意引导学生进行“图形”与“数式”之间的切换，由图形性质建立线段关系，利用线段关系反推几何特性，使学生充分体验利用数形结合思想解题的过程，理解思想方法在解题应用中的优势，发展学生的数学思维.总之，“锐角的正弦函数”是三角函数部分学习的基础，实际教学中，教师需要把握教材重点和问题难点，充分探讨教学方法，设计教学环节;内容教学以知识探究为主，开展过程分析，引导学生体验探究过程，充分思考问题;教学过程中合理渗透数学思想，指导学生理解数学思想方法，提升数学思维，发展核心素養