初中数学原理教学该如何实现深度学习

邱少芬

【摘要】将“完全平方公式”一课的教学思路定位为：学生能够在恰当的数学情境中，完成对公式的思考和推导，并且能够在独立动手操作的过程中，从几何的角度验证公式的成立.另外，教师还要引导学生在小组合作中学会交流，激发其学习主动性，从而在层层递进的问题链中提高他们的逻辑推理能力和自主探究能力.由此获得对促进初中数学原理深度学习的教学策略的认识和思考.

【关键词】数学原理;深度学习;核心素养;高阶思维

“万丈高楼平地起”，如果没有牢固的地基，多么宏伟的建筑也可能瞬间倒塌.数学原理，作为数学体系的基本元素，犹如我们数学学习中的“地基”，支撑着整个数学体系.因此，广大教师有必要采取新颖且有效的教学方式来引导学生深入学习和把握数学原理.

一、认识概念“数学原理”

数学原理，即人们在观察、实践的基础上，归纳得到的基本事实或方法，它是数学公理、定理、公式、性质和法则等的统称.数学原理涉及的知识内容较为基础，且综合性较弱，常被教师忽视，等同于简单内容.事实上，基础与简单是完全不同的，“基础”指的是根本、重要，是学生需要掌握的必要内容，不能被认为只要介绍并进行机械训练即可.结合实践调研可知，在实践教学中存在很多复杂的题目未被解决，究其根本，主要原因便是学生对基础知识的理解不够透彻、掌握不够深入.由此可见，深入学习和深层掌握初中数学原理内容，是学生实现深度学习的必要环节.

二、认识概念“深度学习”

苏霍姆林斯基说过：“用记忆替代思考，用背诵替代对现象本质的清晰理解和观察，能使孩子变得迟钝，到头来会使他丧失学习的愿望.”这段话生动地向我们描绘了某种教学方式，这种教学方式侧重于强调应试技巧和手段，却不能在教学的过程中引起学生的思考和探究.与之相反，深度学习则要求学生不能被动地接受知识，而应以主动的姿态和饱满的情绪来获取知识和技能，并且还应在发现、理解、思考的过程中慢慢将知识同化.它要求学生在这个过程中，感知、思维、情感、意志、价值观必须全面參与.深度学习的目的指向具体的、社会的、人的全面发展，它是学生核心素养培育与发展的基本途径.

下面，笔者就以新人教版数学八年级上册“完全平方公式”一课为例，谈谈对基于深度学习的初中数学原理教学的一些认知与见解，旨在为其他教育工作者提供有效的借鉴和思路.

三、主要教学环节实录

环节1巧设情境，激发学生的求知欲

题目：（1）（a+b）2=a2+b2;（2）（a-b）2=a2-b2.

师：学完“多项式×多项式”后，小明和小红因为这道题争得面红耳赤.小明说这两个式子的计算结果是正确的，而小红却说是错误的.你同意谁的观点呢？

（学生热烈讨论）

生1：我赞成小明的观点.我们学过（ab）2=a2b2，那么（a+b）2=a2+b2，（a-b）2=a2-b2也是正确的.

生2：我认为小红是对的.（ab）2=a2b2是针对积的乘方的知识，并不能直接迁移到两数和差的乘方中.

师：那正确的计算结果应该是什么呢？

生3：我认为（a+b）2和（a-b）2本质上都是“多项式×多项式”，应该用这个知识来计算.

师：（板书（1）（a+b）2=（a+b）（a+b），（2）（a-b）2=（a-b）（a-b））是这样吗？

（全体学生恍然大悟）

师：请大家按这样的做法计算结果.

（学生计算出正确结果：（1）（a+b）2=a2+2ab+b2，（2）（a-b）2=a2-2ab+b2）

（教师引出新课课题）

环节2在教学过程中提高学生的动手操作能力和思维能力

师：现在每个小组手上的袋子里都有两个边长分别为a和b的正方形以及两个长为a、宽为b的长方形.请每个小组成员进行合作，尝试拼出一个大正方形.同时请思考：每个小图形的面积与大正方形的面积之间有何关系？能否用等式表示？

（各小组学生围站在一起，合作动手操作和思考，气氛热烈）

师：请完成任务的小组派代表上台展示你们的合作成果.

（六个小组均派代表上讲台进行展示，都能展示出正确结果）

师：这个活动，大家都积极参与了，那你们知道这个活动结果证明了什么吗？

生4：我们通过动手发现，刚才讲到的第一个公式确实是成立的！

生5：我们从几何的角度证明了第一个公式是成立的.

师：没错，我们不仅可以通过计算验证公式，还可以从几何的角度进行证明，有时候，数形结合能够让我们对知识的理解更加透彻！

师：下面我们通过动画展示，也从几何角度来证明第二个公式成立！

环节3游戏：一起来找不同

师：同学们玩过游戏“一起来找不同”吗？下面，我们就来观察这两个公式，看看你们能不能找到它们的不同之处？

（1）（a+b）2=a2+2ab+b2，

（2）（a-b）2=a2-2ab+b2.

生（众）：左边的运算符号不同，右边计算结果的第二项的符号也不同.

师：那么，右边计算结果的第二项的符号，与左边的式子的运算符号有没有对应关系呢？

生6：有，若左边是两数的和的平方，则右边第二项的符号为正！若左边是两数的差的平方，则右边第二项的符号为负！

师：非常好，那么，右边运算结果的每一项有什么特征吗？

生7：第一项和第三项分别是左边两个数的平方，符号均为正.第二项是左边两数的积的2倍，符号与左边运算符号相同.

师：同学们不仅能算出运算结果，还学会了在对比中寻找规律，这一点做得非常好.只有找到规律，才能准确地把这样的公式结果应用到同类型的题目中，提高运算速度.下面两道题目，你能根据公式的特点直接写出答案吗？

（x+6）2=;

（3-y）2=。

环节4尝试该公式应用的活动：合作解决问题

师：如果a和b所代表的不仅是一个字母或者数字，那么在运用公式的过程中有没有什么注意点呢？请你们先独立完成题目，再小组同学进行合作，互相纠错，并且找出错误的原因是什么.

计算：（1）y-122;

（2）（4m+n）2.

（教师等待学生合作完成，让两个小组的代表上台展示，并指出易错点）

师：在小组合作过程中，大家都认真地进行了讨论和总结，相信你们一定有所收获.大家都发现，易错点主要是，（1）在运用公式的过程中，符号没有对应好;（2）中间项漏乘二;（3）分数的平方或者式子的平方，底数容易漏掉括号，没有突出这个底数是个整体.你们理解了吗？敢来纠错吗？请看题目：

（1）（3y-2）2=3y2-12y+4;

（2）（2x+1）2=4x2+2x+1.

生8：我找到了，第一个题目等号右边3y没有加括号，这一项结果应该是9y2，第二小题等号右边第二项不是两数乘积的二倍，正确结果应该是4x.

师：大家知识巩固得很好.下面两道题就看看你们自己会不会避开这些错误.

计算：（1）（2a-5b）2;（2）34x+23y2

（待学生完成练习后，教师组织学生互相反馈和评价）

師：只要能抓住公式的本质，注意易错点，题目就容易多了.那么，同学们，你们敢不敢来挑战更容易错的题目呢？

（学生很兴奋）

师：请大家尝试下面的题目，小组成员进行讨论，争取全组成员都能得到正确结果.

计算：（1）（-a+b）2;（2）（-a-b）2.

（第二小组上台展示，并且指出了易错点：第一个数-a是一个整体，在计算的时候应该带括号强调整体，否则结果容易出现错误）

师：同学们，你们在讨论的时候，很好地发现了第一个数-a是个易错的麻烦，那么有没有找到好的办法来避开这个错误呢？

生9：要记住为-a加上括号.

师：有没有更加彻底的办法？例如，干掉这个让人烦恼的“-”？

（学生热烈讨论）

生10：我们小组发现，只要把原式进行适当变形，题目的出错率就会大大降低了.

（1）（-a+b）2=（b-a）2;（2）（-a-b）2=（a+b）2.

师：同学们，该小组的做法正确吗？有合理的依据吗？

生11：有，第一个式子是依据加法交换律变形的;第二个式子是依据互为相反数的两数的平方相等来变形的.

师：同学们很善于发现和总结.是的，这里有个完全平方公式计算的小技巧：如果第一个数有负号，通常可以先变形，（1）调换两数的位置;（2）把括号里的数化为它的相反数，然后运用公式，这样能大大降低出错率.

师：下面请大家完成练习册中的习题.

环节5回顾与思考，设置悬疑

（学生畅所欲言，进行反思与总结）

师：本节课大家都收获满满，表现得也非常好，所以，老师要送你们一件礼物，也是一个挑战.（屏幕出现一个礼盒，点击打开，弹出了一道题）

计算：（a+b+c）2.

师：同学们，你们能否接受老师这份礼物呢？希望课后你们能够认真思考.下课！

四、对促进数学原理深度学习的课堂教学策略的几点思考

（一）创设有效情境，激发学生的求知欲望

为充分彰显数学课程的育人功能，教师需要意识到创设教学情境的重要性，并在实践教学过程中尝试创设适宜的教学情境，其中需要注意的一点便是，教师所创设的教学情境应符合大纲要求、贴合教材内容、极具有效性，使学生能够立足于情境去思考，最终激发学生的求知欲望，使学生主动、轻松地获取新知识.这就是深度学习的开始.

本节课，学生在小明和小红的吵闹声中，从基于猜测（从将积的乘方错误地迁移到和差的平方）到基于知识回顾（多项式×多项式），一直上升至基于理解（公式成立），在此过程中，他们的知识体系进行了重组，学习经验也得到了丰富.由此可以让他们充分认识到，数学学习不能仅仅依靠猜想，还要运用所学知识去计算和推理.

（二）创新活动方式，组织学生在实践中学习

在实践教学过程中，教师还应结合即将开展的教学内容特点来创新活动方式，通过浏览网络资源来学习和借鉴新颖且有效的活动组织方式来吸引学生的注意力、提升课堂“抬头率”，使学生能够沉浸到实践学习中，将所学的知识点与技能点运用到实践练习中，最终切实提高学生的动手操作能力，促使学生在动手的过程中主动进行逻辑思考，同时，也使得深度学习得以继续进行.

本节课，学生通过动手拼凑正方形，不仅在实践中发现结果：同一图形面积的两种不同表达结果是相等的，还能更好地体会到“数形结合”这一重要的数学思想，这可以使学生的知识结构得到进一步强化，使得他们的学习技巧得到进一步提升，这也是深度学习的结果.

（三）合作学习，自主互助，多向交流

调查得出，很多教师深受固化思维的限制和影响，并未完全摒弃旧有的教学观念与方式，在数学课堂上采用的较多的是“灌注式”或“填鸭式”的教学方式，使得整个数学课堂较为沉闷乏味，无法激发学生参与课堂学习的内需与动力，甚至还会大幅度降低学生参与课堂活动的自主性和积极性.除此之外，课堂上也没有留出充裕的时间让学生和教师进行沟通交流，使得师生、生生间缺乏交流，这种教学方式忽略了学习者的学习主动性，只强调“教”，不重视“学”，最终导致教学效果不够明显.若教师组织学生开展合作学习，则能够有效突破这一教学困境.教师通过合作学习，能够给学生间、师生间留有充裕的时间和自由的空间进行学术交流和情感互通，从而充分彰显学生在课堂上的主体地位，使学生成为课堂的主人，激活学生思维和学习的主动性，使学生体会到学习的成就感.

本节课中，教师多次组织学生进行合作学习，让学生主动探究，使得他们在合作的过程中加深对新知识的印象，提高了协作能力，并在积极的交流过程中收获更多，学习效益倍增.

（四）设计层层递进的问题链，引导学生探究思考

朱德全先生曾指出，问题是教师教学的心脏，是学习学生的心脏，并且强调“问题解决指向人的发展”这一观点，这与深度学习促进学生高阶思维发展的理念是一致的.因此，在实践教学过程中，教师需为引发学生思考设置层层递进的问题链，使数学课堂更具探究性和启发性，从而有效彰显数学课堂的育人价值.环环相扣的数学问题可以使学生在问题的一步步引导下不断深化和发展自己的思维逻辑，锻炼自身的数学问题探究能力，最终进一步促进深度学习的发展，提升他们的数学学习能力和核心素养.

本节课中，教师的问题链一直存在，并且是由浅入深和由易到难的.通过在恰当的时候设置适宜的问题，不仅能够为学生指明思考的方向，还能在关键的时候帮助学生延续思路，使学生能够有效突破学习重点和难点.

总而言之，为适应现代化教育教学的发展趋势，小学教师应积极探寻优化教学成效、构建高效课堂的策略，应立足于数学原理视域探寻实现深度学习的有效途径.需要注意的是，数学深度学习是个长期变化的过程，教师应该在教学过程中不断调整和贯彻这个理念.本文给出了一些促进数学原理教学的深度学习的策略，但是如何进行课堂教学的设计，让学生真正在教学中深度学习是个必须深入研究的课题.在以后的教学中，笔者也会继续加强这方面的学习和研究，希望这种教学方式的实施，能够真正带来学生学习能力的提高，同时为数学教学者提供有效借鉴！

【参考文献】

[1]郭华.深度学习及其意义.课程·教材·教法[J]，2016（11）：99-10.

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