艾拉姆咖分布参数变点的统计推断*

范梓淼， 田梦琴， 赫亚伟， 兰琪暄

(新疆农业大学数理学院，830052，新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市)

变点问题是统计学中的热门研究方向，在金融、医学、气象学和计算机领域等方面有广泛地应用. 近年来，随着统计分析方法的不断完善，变点问题的发展在理论研究和实际应用上都有了大的飞跃.谭景宝等讨论了Gamma分布的变点问题[1]，韩冰凌、孙佳楠对独立泊松与指数序列比较了变点检测方法[2].在方法上，袁芳、韩四儿、谭常春、缪柏其等采用了累积和(CUSUM)方法[3-7]，讨论变点的检验与估计问题.

艾拉姆咖分布在研究武器装备维修时间时被提出，目前关于其参数估计取得了一定成果.不同样本下，张月,周菊玲在NA样本下讨论了艾拉姆咖分布参数的经验Bayes检验[8]，龙兵在定数双截尾和缺失数据下讨论了参数的估计问题[9，10].潘高田,王保恒,陈春良等讨论了小样本区间估计[11].王敏在复合Linex损失下讨论参数的Bayes估计[12].对于艾拉姆咖分布，易秀龙还讨论了其Pearson-λ2距离及渐近性[13].

1 变点的假设检验

X1,X2,…,Xnτk～F(θ1)，Xnτk+1,…,Xn～F(θ2)，

其中F(θ)为参数θ的艾拉姆咖分布.

下面考虑如下假设检验问题

H0:θ1=θ2vsH1:θ1≠θ2.

(1)

定义检验统计量为

在显著性水平α下，(1)的拒绝域为

W={(X1,X2,…,Xn):Tk≤A(x,lnn)}，

定理1 设X1,X2,…,Xn为来自艾拉姆咖分布的样本，σ2已知，则有

引理1[14]设X1,X2,…,Xn为n个相互独立同分布的随机变量，如果E(Xr)<+∞,r>2，σ2=Var(X)已知，那么存在一列布朗桥过程{W(n)(t),0≤t≤1},n=1,2…，使得当n→∞时，

引理2[14]在引理1的条件下，当n→∞，对0<δ1≤1-δ2<1有

其中{V(t),-∞

因为

定理1告诉我们，假定选取显著性水平α，通过exp{-2e-x}=1-α，解得

2 变点位置的参数估计

引理3[15]设Y1,Y2,…,Yn为一列鞅差随机变量，假设E(Yi2)=σ2<+∞，i=1,2,…,n.若c1,c2,…,cn为一列非增非负常数，则有

进一步，若令Z1,Z2,…,Zn为随机变量，且对于1≤k≤n，有

E(|Zk|σ(Z1,Z2,…,Zk-1))≥ak|Zk-1|,a.s.；

同时对每一个k有0≤ak≤1.令r≥1，则还有

因为|Tk0|=|Tk0-ETk0+ETk0|≥||Tk0-ETk0|-|ETk0||=|ETk0|-|Tk0-ETk0|，

|Tk|=|Tk-ETk+ETk|≤|Tk-ETk|+|ETk|，

所以|Tk|-|Tk0|≤|Tk-ETk|+|Tk0-ETk0|+|ETk|-|ETk0|≤

另一方面，

所以(ⅰ)当k≤k0时，也就是τ≤τ0，有

(ⅱ)当k>k0时，也就是τ>τ0,有

综上所述，有

而

(2)

(3)

再由Burkholder不等式,

(4)

其中c1为仅与r有关的常数.

再由Cr不等式，

3 数值模拟

为验证本文确定的变点位置估计的合理性和有效性，利用R软件进行大量模拟.结果如表1.

表1 变点估计检测结果

表1表明：

(1)n越大，估计效果越好，越接近真实值；

(2)θ1与θ2相差越大，效果越好；

(3)变点真实位置越接近样本中间，估计越准确.