电子扰动振幅对非均匀离子背景下相位混合及波破的影响*

靳瑞宁， 徐 慧， 孙 钰， 杜少杰， 黄国鑫

(曲阜师范大学物理工程学院，273165，山东省曲阜市)

0 引 言

非线性冷等离子体振荡和波破裂一直是强场物理研究的热点.在实验室等离子体中，它涉及到许多问题，如惯性约束核聚变中激光脉冲对电子和离子的加热、激光或粒子束驱动的尾迹场的激发、激光尾迹场对粒子的加速以及强激光核聚变中产生的拍频波等[1-4].其中一项重要的研究工作是在波破裂开始之前，找出这种强非线性波的最大可持续波电场.关于均匀离子背景下的冷电子等离子体振荡问题，许多年前已由学者完成[5-7].他们发现在那种情况下，电子等离子体振荡频率与振幅无关，只要初始电子等离子体波的扰动振幅小于平衡态等离子体密度的一半，等离子体振荡就会保持相干性振荡，不会表现出波破裂行为.后来的研究发现，如果考虑了粒子运动的相对论效应、或正电荷是运动的，则无论初始电子密度扰动幅度多么小，等离子体波的相位混合和波破裂的发生都是不可避免的[8,9].这些结果在电子—离子等离子体[10,11]、电子—正电子等离子体[12-14]和对离子等离子体[15]中得到了证实.参考文献[5]中给出了当离子背景不均匀时会发生波破裂现象(无限电子密度)的启发式论证.后来，Kaw等人提出了在正弦分布的正电荷背景下，从长波长到短波长的相位混合和由此产生的级联[16].固定不动的正弦形和双曲正割平方形分布的离子背景下的冷等离子体振荡的精确解由Infeld等人给出，其中相位混合被描述为电子密度突发[17,18]，并得到了动力学的证明[19].最近，Karmakar等人又研究了不均匀离子背景下的大振幅电子等离子体振荡的相位混合和波破[20].跟前人的工作相比，他们在离子背景不均匀分布的基础上，考虑了电子分布的不均匀性，并讨论了电子密度扰动对波破裂发生时间的影响.但他们采用的是拉格朗日坐标系下的一维流体—麦克斯韦方程组，只能研究小振幅的电子和离子扰动的情况，而且他们无法得到系统的详细演化过程，尤其是得不到相空间中的电子分布.本文采用Vlasov-Poisson方程模拟的方法，着重讨论了大范围变化的初始电子密度扰动振幅对系统演化过程和波破发生的影响，并得到了波破发生时相空间的电子分布情况.

1 理论模型

研究一个由电子和离子组成的一维系统，电子分布函数fe(x,pe,t)和离子分布函数fi(x,pi,t)分别

满足非相对论Vlasov方程，静电场则满足泊松方程

(1)

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求解Vlasov方程时，采用了Cheng和Knorr提出的时间分裂法[21]，将Vlasov方程分解为物理空间和速度空间中的单独平流方程.例如方程(1)，可以分解为以下2个平流方程：

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假设初始时刻电子和离子在动量空间中是麦克斯韦分布的，电子和离子密度分布不均匀，是周期的，初始时刻电子和离子分布函数由以下形式给出：

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(7)

2 模拟结果及讨论

由于离子质量比电子质量大得多，其流动性比电子小得多，所以假设离子是一个固定的、与时间无关的、空间具有周期性分布的正电荷背景.为了使非线性结果更透明，采用共振近似条件k≡(ki/ke)≪1，取ke=1,ki=0.1，所以整个系统的长度为L=20π.假设离子是质子，电子和离子的温度都很低，取Te=Ti=25 eV，βe=10-4，βi=0.1836.初始电子密度和离子密度扰动振幅分别为δe=0.2,δi=0.2时，图1(a)显示了早期的几个最大电子密度峰分布，其最大峰值对应的相空间中的电子分布如图2(a)所示.与均匀背景下的冷电子等离子体波中的结论类似，电子在每个电子等离子体波的中心位置发生了堆积.叠加上不均匀离子背景的影响，导致越靠近系统两端的位置，峰值越大.这与文献[19]中图1(a)所示的初始时刻电子密度均匀分布时的早期电子密度分布不相同.由于图1中离子密度扰动和电子密度扰动都比较小，早期在电子等离子体波中心位置形成的密度峰不足以引起波的破裂.随着系统的演化，相位混合效应导致电子等离子体波中心的峰值逐渐减小，系统逐渐偏离最初的基模电场分布，该过程伴随着如图1(d)所示的电场基模的减小.大约在t=115时，电子密度第一次达到2个最大峰值，对应于图1(c)所示的比较大而陡的电场梯度.我们把这一时刻定义为离子诱导波破裂时间ti_break.图1(d)显示电场基模在离子诱导波破时间(虚线位置)达到第13个峰值，紧靠在最小峰值之前.随着系统的继续振荡和演化，电子密度双峰逐渐减小，然后又增加到另一个最大双峰结构.图1(b)显示了后期在等离子体中可以得到一系列的电子密度突发，这与文献[19]中的结果相似.图2(b)显示在离子诱导波破时间，相空间的电子在密度峰的位置开始形成尖峰结构.随着系统的演化，尖峰变得越来越尖锐，几次突发后，一些电子由于速度非常高，会偏离主体(见图2(d)).

图2 不同时刻电子在相空间的分布，(a)t=27.3，(b)t=115，(c)t=134，(d)t=144，模拟参数与图1相同

图1 (a)早期形成的3个最大电子密度峰，(b)电子密度突发系列，(c)离子诱导波破时间对应的电场梯度分布，(d)电场基模随时间的演化，模拟参数为：δe=0.2,δi=0.2,ke=1.0,ki=0.1,L=20π,βe=10-4,mi=1836,βi=0.1836

保持其他参数与图1相同，初始离子密度扰动δi对离子诱导波破裂时间的影响如图3(a)中实线所示.图3(a)中的虚线是文献[20]中给出的理论结果.模拟结果与理论结果的变化趋势基本一致，离子诱导波破裂时间随着初始离子密度扰动的增大而减小.图3(b)显示了离子密度扰动不同时在初始时刻(t=0)对应的电场分布.随着离子密度扰动振幅的增大，形成的电场E增大，振荡频率对空间的依赖性增强.因此，离子密度扰动振幅越大，电子的运动和再分配越强，离子诱导波破裂时间越短.

图3 (a)离子诱导波破时间随离子密度扰动振幅的变化，(b)离子密度扰动振幅不同时对应的初始时刻(t=0)的电场分布，其他模拟参数与图1相同

其他参数保持与图1相同的情况下，研究了电子密度扰动对系统演化过程的影响.当电子密度扰动较小时(如δe<0.3)，系统的演化过程与图1所示的δe=0.2的过程相似.早期在电子等离子体波中心形成的电子密度峰不太陡，不足以引起波破裂的发生.这种情况下，后期由离子密度不均匀性引起的离子诱导波破裂时间几乎不受电子密度扰动的影响.然而，电子密度扰动引起的在电子等离子体波中心形成的早期电子密度峰值和离子诱导波破裂时间对应的电子密度双峰结构的峰值都随着电子密度扰动振幅的增加而增大(见图4(a1)-(a4)).图4(c)和(d)分别为δe=0.4 和δe=0.5时对应的早期电子密度峰分布.此时，在离子分布不均匀性和电子分布不均匀性的共同作用下，靠近系统边界处形成的早期电子密度峰值比较大，电场梯度很大，导致了波破裂的发生.但早期的波破裂比较弱，离子的不均匀性最终也会在后期导致电子密度分布形成双峰结构，且离子诱导波破裂时间随着电子密度扰动振幅的增加而增加，相对应的电子密度双峰结构的峰值变小(如图4(a5)和图4(b)所示).当电子密度扰动很大时(如δe>0.9)，早期电子等离子体波导致的波破裂很强，由离子分布不均匀性导致的电子密度中的双峰结构根本不可能出现，系统的波破裂主要由大振幅电子等离子体波决定.

图4 (a1)-(a5)离子诱导波破时间(t=115)对应的电子密度双峰分布，其中(a1) δe=0.0,(a2) δe=0.1,(a3) δe=0.2,(a4) δe=0.3,(a5) δe=0.4,(b)中等大小的电子密度扰动对应的第一个最大电子密度双峰结构，(c) 和(d)分别为δe=0.4和δe=0.5时早期演化的2个最大电子密度峰分布，其他模拟参数与图1中参数相同

保持其他模拟参数与图1相同，图5(a)和(c)分别给出了ki=0.05和ki=0.025时电子密度的一系列突发.与图1(b)相比，随着离子扰动波数的减小，离子在空间的密度分布不均匀性降低，对应的离子诱导波破裂时间增加.离子波数越小，电场基波振荡周期越长(见图1(d)、图5(b)和图5(d)).但不同的离子扰动波数下，电场基模早期演化的趋势是相似的，离子诱导波破裂时间几乎都发生在第13个振荡周期，即在最小峰值之前.

图5 (a)、(c)分别为ki=0.05和ki=0.025时的电子密度突发系列，(b)、(d)分别为ki=0.05 和 ki=0.025时电场基模随时间的演化，其他模拟参数与图1中的参数相同.

3 结 论

本文研究了电子密度扰动振幅对非均匀离子背景下、电子等离子体振荡的演化过程和波破裂的影响.结果表明，在电子等离子体波和离子不均匀性的共同作用下，任意振幅的电子等离子体波都会发生相位混合和波破裂.当电子密度扰动振幅较小时(如δe<0.3)，电子等离子体波的影响较小，波破裂主要由背景离子的不均匀性产生，最后会形成比较大的电子密度双峰结构(波破裂发生).在中等大小的电子密度扰动振幅下，电子等离子体波导致的波破裂发生在早期阶段，但比较弱.背景离子的不均匀性还是会在后期导致电子密度双峰结构的形成，且双峰结构的形成时间会随着电子密度扰动振幅的增加而增加.当电子密度扰动很大(如δe>0.9)时，系统的波破裂主要发生在早期、由大电子等离子体波决定.这种情况下，由离子分布不均匀性导致的电子密度双峰结构不会出现了.离子诱导波破时间随着离子扰动波数的减小而增加，随着离子扰动振幅的增加而减小.