沿函数之道 通方程之路

燕娜

一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a是常数）是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c是常数）当y=0时的特殊情况，因此，我们在研究一元二次方程时，有时需要借助二次函数的图像来解决问题。

【阅读材料】在实际问题中有时只需要求得方程的近似解，这个时候，我们通常利用函数的图像来完成。如，求方程x2-2x-2=0的实数根的近似解，观察函数y=x2-2x-2的图像，如图1：发现当自变量x=2时，函数值y=-2<0，点（2，-2）在x轴下方;当自变量x=3时，函数值y=1>0，点（3，1） 在x轴上方。因为抛物线y=x2-2x-2是一条连续不断的曲线，所以抛物线y=x2-2x-2在2

进一步，我们取2和3的平均数2.5，计算当自变量x=2.5时，函数值y=-0.75<0，点（2.5，-0.75）在x轴下方，由此可知，方程的这个根在2.5与3之间，可以取它们之间任意一个数作为近似解，该近似解与真实值的差都不会大于3-2.5=0.5。

重复以上操作，随着操作次数的增加，根的近似值会越来越接近真实值。

【问题】用以上方法求方程x2-2x-2=0小于0的解，且使所求的近似解与真实值的差不超过0.3，该近似解为__________。

【解析】观察函数y=x2-2x-2的图像，发现：当自变量x=0时，函数值y=-2<0，点（0，

-2）在x轴下方;当自变量x=-1时，函数值y=1>0，点（-1，1） 在x轴上方。因为抛物线y=x2-2x-2是一条连续不断的曲线，所以抛物线y=x2-2x-2在-1

我们取-1和0的平均数-0.5，计算当自变量x=-0.5时，函数值y=-0.75<0，点（-0.5，

-0.75）在x轴下方，所以方程的这个根在-1与-0.5之间，可以取它们之间任意一个数作为近似解，该近似解与真实值的差都不会大于0.5。再求-1和-0.5的平均数-0.75，计算当自变量x=-0.75时，函数值y=0.0625>0，点（-0.75， 0.0625）在x轴上方，所以方程的这个根在-0.75与-0.5之间，可以取它们之间任意一个数作为近似解，由-0.5-（-0.75）=0.25<0.3，即该近似解与真实值的差都不会大于0.3。

所以在-0.75与-0.5之间任意一个数都可以作为近似解，如-0.7。

【点评】解答此题的关键是读懂题意，阅读材料主要描述的是利用函数图像，从中获取信息，从两点逐步逼近求一元二次方程的近似解的方法。积累此经验，我们就可以在以后的学习中解决类似的问题。

变式1 在利用图像法求方程x2=x+3的解x1、x2时，下面是四名同学的解法。

甲：函数y=x2-x-3的图像与x轴交点的横坐标是x1、x2;

乙：函数y=x2与y=x+3的图像交点的横坐标是x1、x2;

丙：函数y=x2-3与y=x的图像交点的横坐标是x1、x2;

丁：函数y=x2+1与y=x+4的图像交点的横坐标是x1、x2。

你认为解法正确的同学有__________。

【解析】方程x2=x+3的解为x1、x2，即方程x2-x-3=0的两个根为x1、x2。

甲：函数y=x2-x-3的图像与x轴交点的横坐标是x1、x2，即方程x2-x-3=0的两个根为x1、x2，故甲正确;

乙：函数y=x2和y=x+3的图像交点的横坐标是x1、x2，即方程x2=x+3的两个根为x1、x2，故乙正确;

丙：函数y=x2-3和y=x的图像交点的横坐标是x1、x2，即方程x2-3=x的两个根为x1、x2，故丙正确;

丁：函数y=x2+1和y=x+4的圖像交点的横坐标是x1、x2，即方程 x2+1=x+4的两个根为x1、x2，故丁正确。

故答案为甲、乙、丙、丁。

变式2 下表给出了二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值。那么方程ax2+bx+c=0的一个根的近似值可能是（ ）。

[x … 1 1.1 1.2 1.3 1.4 … y … -1 -0.49 0.04 0.59 1.16 … ]

A.1.08 B.1.18 C.1.28 D.1.38

【解析】观察表中数据：x=1.1时，y=ax2+bx+c=-0.49;x=1.2时，y=ax2+bx+c=0.04。所以抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点在点（1.1，0）和点（1.2，0）之间，更靠近点（1.2，0），所以方程ax2+bx+c=0有一个根约为1.2。故选B。

变式3 二次函数y=-x2+mx的图像如图2所示，对称轴为直线x=2，若关于x的一元二次方程-x2+mx-t=0（t为实数）在1

【解析】根据对称轴为直线x=2，即[-m2×（-1）]=2，解得m=4，所以二次函数表达式为y=-x2+4x。

当x=1时，y=3;当x=2时，y=4;当x=5时，y=-5。

结合图像，如图3，因为一元二次方程

-x2+mx-t=0的解就是抛物线y=-x2+mx与直线y=t在1

-5和直线y=4之间（包括直线y=4），所以-5

变式4 方程x2+3x-1=0的根可看作是一次函数y=x+3的圖像与反比例函数y=[1x]的图像交点的横坐标，那么用此方法可推断出方程x3-x-1=0的实数根x0所在的范围是（ ）。

A.-1

C.1

【解析】所给方程x3-x-1=0是一元三次方程且x≠0，两边都除以x得方程x2-1[-1x]=0，即x2-1=[1x]，所以它的根可视为二次函数y=x2-1和反比例函数y=[1x]交点的横坐标。

当x=1时，x2-1=0，[1x]=1，交点在x=1的右边;当x=2时，x2-1=3，[1x]=[12]，交点在x=2的左边。又因为交点在第一象限，所以1

变式5 已知二次函数y=x2+px+q（p、q为常数，Δ=p2-4q>0）的图像与x轴相交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且A，B两点间的距离为d。通过研究其中一个函数y=x2-5x+6及图像（如图5），可得出表中第2列的相关数据。

[y=x2+px+q y=x2-5x+6 y=x2[-12]x y=x2+x-2 p -5 [-12] q 6 -2 Δ 1 [14] x1 2 -2 x2 3 [12] d 1 3 ]

（1）在表内的空格中填上正确的数;

（2）根据上述表内d与Δ的值，猜想它们之间有什么关系，再举一个符合条件的二次函数，验证你的猜想;

（3）对于函数y=x2+px+q（p、q为常数，Δ=p2-4q>0），是否存在（2）中的关系？请证明你的猜想。

【解析】（1）第三列q=0，x1=0，d=[12];第四行p=1，Δ=9，x2=1。

（2）猜想：d2=Δ。

例如：y=x2-x-2中，p=-1，q=-2，Δ=9。

由x2-x-2=0，得x1=2，x2=-1，d=3，d2=9，

∴d2=Δ。

（3）存在。

证明：令y=0，得x2+px+q=0。

∵Δ>0，设x2+px+q=0的两根为x1，x2，则x1+x2=-p，x1·x2=q，d2=（[x1-x2]）2=（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1·x2=（-p）2-4q=p2-4q=Δ。

（作者单位：陕西师范大学出版总社）