高等数学教学探讨

路群 刘莉芳

【摘要】  极限概念是大学生学习微积分的一个难点，主要是对抽象的ε-N，ε-δ，ε-X，G-δ，G-X语言的理解.本文结合笔者在教学过程中的一些体会，对极限的引入、直观定性描述与定量描述的教学方法进行探讨.

【关键词】  初等函数;极限;ε-δ语言

高等数学是高等院校特别是高等理工科院校开设的一门重要基础课程，它的主要研究对象是初等函数，包括初等函数的连续性、可导性、可微性及可积性.这其中有一个很重要的描述变量变化趋势的概念——极限，它是微积分的灵魂，贯穿微积分学习的始终，不管上述函数的哪一个性质，都不能离开极限（不同式子的极限问题）.极限概念的理解是大学生学习微积分的一个难点，即便学生在中学阶段对它已经有了初步直观的了解，在大学阶段也会对它望而生畏，主要是因为对抽象的数学定义的理解是个难点.本文结合笔者在教学过程中的一些体会进行探讨.

一、极限概念的引入

极限问题是伴随着实际问题产生的，而不是凭空捏造出来的.求瞬时速度、切线、曲边梯形的面积等都会用到极限概念.数学家刘徽“割圆术”的思想即“割之弥细，所失弥小.割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，可以说极限问题来源于生活并服务于生活.

微积分的精髓在于以简单代替复杂，以不变（常量）代替变（变量），通过局部近似，在不断加细的过程中得到所要求的量.

二、极限的通俗定义或定性描述

对于一些简单的数列或者函数，其因变量随自变量变化的规律同学们并不陌生.如数列an=  （-1）n/n  ，当n越来越大时，an越来越接近0;又如同学们都很熟悉的函数f（x）=x2，当x充分接近3时，f（x）越来越接近9，当x朝x轴的两侧越跑越远时，函数值就会越来越大，而且要多大就有多大;再如函數g（x）=  1/ x  ，当x充分接近0时，函数值的绝对值也会越来越大，换言之，曲线上的点会偏离x轴，而且这种偏离要多远就有多远，当x朝x轴的两侧越跑越远时，函数值越来越接近0.这种描述就是极限的通俗定义或者定性描述.

三、极限的定量描述

极限的定性描述对学生来说不难理解，并且能对一些较为简单的函数“感受”到它的极限值是多少.但对于较为复杂的函数，想要直观地看出它的规律，恐怕不是一件简单的事情.这就要求我们从更科学的角度，以更为严格的数学语言来判断极限，这也是大学生在学习这一部分内容的过程中遇到的难点.

在考虑自变量变化过程中因变量的变化规律时，不妨从误差估计角度入手，比如金属圆盘受热胀冷缩因素影响，面积会发生变化，如果要让面积（因变量）在一定误差范围内变化，圆盘的半径（自变量）应该在什么范围内变化.换言之，如果知道因变量的变化范围，能否知道自变量的变化范围.

四、结论

本文对极限定义的教学进行了探讨，让学生在学习该内容时首先明确要解决的任务（总目标），然后才是如何具体去实现解决问题的过程，加深对这一抽象定义的理解，为后续的微积分学习打下坚实的基础.

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