基于物元分析的问题教学策略在数学教学中的应用研究

张海燕 王怀习 胡波

【摘要】基于物元分析的问题教学策略为问题教学策略的主要内容进行了深入分析，提出了专业问题的设置、基于物元分析的问题探索、问题解答总结和研究性问题的设置等具体内容，针对数学课程以组合数学为例展开教学，为更好地提高学生的学习效果，开展教学研究，提升老师的教学能力进行了有益的尝试与探讨。

【关键词】物元分析;问题教学策略;数学教学

1引言

教学策略是课堂教学的重要组成部分，可分为训练与练习策略，演绎策略，归纳策略，探究策略，问题策略等。其中问题策略是将知识点以问题的形式呈现在学生面前，让学生在寻求和探索解决问题的思维活动中，掌握知识、发展智力、培养技能，进而培养学生自己发现问题分析问题解决问题的素养，发展学生思维的自主性和创新性，实现从能力到人格的整体发展。很多专家学者在方面进行了研究和探讨，诸如文献[1]研究了教學策略的趋势，从主体和客体两方面进行教学策略研究;文献[2]采取多元化的教学方法和手段，利用问题教学策略在高等数学中的应用，取得了较好的效果。物元分析研究物元，探讨如何求解不相容问题的一种方法。它以研究促进事物转化，与思维科学，特别是与创造思维学有着密切的联系[3]。物元分析的思想融入问题教学策略中，能够对问题教学策略实施进行有益的补充，提高教学效果，培养学生创新意识和思维，值得探索和尝试。基于物元分析的问题教学策略怎样设计，如何实施，效果怎样，才能做到有效教学，提高学生分析和解决问题的能力，培养学生的创新能力是教学中亟待解决的问题。

2基于物元分析的问题教学策略的重要性

2.1问题教学策略在数学教学中的现状分析

在数学教学中，教材中对知识点的问题引入大多是经典问题，对新出现的问题、专业相关的问题引入甚少，问题的更新度、与专业学科的紧密度不够;问题的解决方法仍旧是以往的方法，一题多解体现不够，没有解决方法的比较和分析;问题的研究性不够，学生学习应从问题的分析解决视角去学习，不是为了知识而学习，而是为了解决现实中亟待解决的问题而学习，新问题层出不穷，问题的深度也不同，需要以对问题研究的心态去对待学习;问题的阐释不够深入，没有从多角度、多方位地解释问题，为什么引入这个问题，阐释到什么程度，怎样理解，效果如何，能否让人理解，并融入到知识点之中;问题背后的方法总结和提炼不够，一道题应是一类题，学会了解题方法，应该学会了同类题的解题，这样知识才能融会贯通;同类问题的设置不够，需要全面考虑。基于上述问题，提出基于物元分析的问题教学策略，通过实施来帮助学生深入理解知识，掌握知识的应用技能，进而提高创新思维能力。

2.2基于物元分析的问题教学策略的特点

首先，数学教学中以问题为出发点，问题的选择是一个特色，要求是本学科专业问题或实际生活中与时俱进的问题，引发学生学习的好奇心和主动性，提高学生学习的兴趣，为后续课程的学习打好基础;其次，问题分析和解答融入物元分析思想，通过多种置换方式分析求解问题，发现问题内部隐含的数学思想，让学生更易看透问题的本质，善于对知识进行迁移、转化，提高学生的分析问题、解决问题的能力。

3基于物元分析的问题教学策略

物元分析法中把事物，事物特征和事物关于特征的类别或量值称为物元，物元可表达为多维形式，进行物元变换，解决实际问题。

基于物元分析的问题教学策略的模式：专业问题的设置→基于物元分析的问题探索→问题解答→问题讨论、总结→研究性问题的设置与解决。专业问题的设置突出专业特色，为后续专业课程的学习奠定基础。问题探索时寻根溯源，深入了解问题的根源，发现问题的本质，根据已有的知识，建立知识与问题的联系，用物元分析方法来分析问题。问题解答中融入物元分析思想，通过物元分析的置换思想，包括置换变换、分解变换、扩大变换、缩小变换等方法，使学生熟练掌握知识的应用，培养学生创造性解决问题的意识。对提出的问题进行讨论，问题本身是否适合知识点，需要做什么调整，问题的分析是否全面，需要增加什么内容，通过讨论，可以完善问题内容，方便提出更好的问题。问题讨论总结和提炼是重要内容，一方面对知识进行深入理解，熟练掌握;另一方面，通过总结，可以提升老师的教学能力，提高学生的学习效果，为同类问题提炼奠定基础，也可提出新问题，或者为不同类问题提供解决的思路。研究性问题的设置，更好地促进教学相长，从对已知世界的认知可以提升到对未知世界的判断，对科研发展有促进作用。

4案例分析

基于物元分析的问题教学策略在数学教学中有着广泛的应用。本文以组合数学为例[4]，在容斥原理、鸽巢原理、拉丁方教学中，应用物元分析的问题教学策略，对知识点的理解和应用有着重要的理论价值。

4.1基于物元分析的问题教学策略遵循的原则

在教学中，基于物元分析的问题教学策略遵循以下原则

（1）问题专业性原则：选取的问题具有专业特色，避免千篇一律，没有重点。

（2）置换方法多样性原则：尽可能列出讲授知识点可以采取的各种置换方法，能够深入理解知识;

（3）知识提炼原则：在对原有知识点理解的基础上，对知识点的外延、内涵做深入剖析，衍生出更具有普遍规律的定义、定理和重要结论，以加深和扩大思维自由度，建立新的理论体系;

（4）各领域知识整合原则：将本课程的原理和其他领域的相关知识整合，以刺激思维，激发更多更好的解决方法;

（5）提问原则：运用现有的知识能够解决问题，但并不一定只有一种方法，问题可以延伸，解决方法可以多样，借助提问方式以激励和创造思维，产生新问题，不断寻求新的方法。

4.2基于物元分析的问题教学策略在数学教学中的应用

（1）专业问题的设置

在引入容斥原理时，依据学生的专业特点，选取与专业相关的经典问题为引例，调动学生学习的积极性，构设学习该知识点的必要性，为有效地教学开展打下良好的基础。比如学生的专业是网络工程，主要以数论与计算机的问题为引例，这些问题的理论知识是容斥原理，因此在讲解容斥原理不会显得突兀，顺理成章地介绍知识点，达到水到渠成的效果。在讲授拉丁方时，拉丁方本身就是试验设计方法，与实际问题联系更加紧密，因而在讲授前，应该寻找专业课程的问题，用拉丁方求解适合而迫切。比如，秘密分享问题，是密码学中的经典问题，密钥如何分给参与者，既能保证密钥安全，又能复原，这里用到拉丁方设计，是一个很经典的试验设计问题，也是拉丁方方法的经典应用案例。因此专业问题的设置特点在于能够极大地调动学生学习的主动性，带着问题学习的方式更易理解，增强了学生的求知欲。

（2）问题探索

问题探索是一个曲折、漫长而无标准参考的过程。人们对问题的理解并不统一，对问题的探索方法也层出不穷，教育学者都在这方面做了诸多贡献，提出了不同的见解。基于物元分析的问题探索，运用置换的思想分析问题，不失为一个有效的探索方法。

第一，置换变换思想。指用一个物元直接地替换另一个物元，即思维由一个对象跳跃到另一个对象，其机制是联想。比如在容斥原理的问题讲解时，首先问题转化为集合，问题的求解是计数，其理论原理实质是集合的计数问题，为了使学生更易理解原理，联系到学过的概率论知识，可将容斥原理的集合计数问题置换为概率论中集合关系的概率计算，同是先考虑集合的交并关系，然后计算时一个是计数，一个是求面积。这样，学生自然会用学过的知识来求解新的问题了。

第二，分解变换思想。指将一问题分解成它的各个组成部分，由对各部分作细节深入探索而找到该问题的突破点。比如在鸽巢原理中，有三个任意的整数a1，a2，a3，而b1b2b3是这三个数的任一排列，得到a1-b1，a2-b2，a3-b3中至少有一个是偶数。首先，任選三个整数，发现它们中至少有两个同奇偶，背后的原理是鸽巢原理，再对三个数作任一排列，又会发现无论作怎样的排列，三个中至少有两个同奇偶的结论不会地改变，因而不妨设其中一个是奇数，排列后仍旧有一个奇数与先前的数相同，这样做减法运算自然是偶数。因此，问题需要分解开，一点一点去思考，这样才会探索到本质，进而找到求解的方法。再比如讲解鸽巢原理的推广时，有一个计算机中的问题编码问题，即设A=a1a2…a20是10个0和10个1组成的2进制数。B=b1b2…b20是任意的2进制数，C=c1c2…c40，则存在某个i，1≤i≤20，使得CiCi+1…Ci+19与a1a2…a20至少有10位对应相等。这个问题看起来不易看懂，更不要说怎么求解了。对待复杂的问题，必须分解成若干部分，一步一步地分析，首先，C到底是什么，从问题可以看出，其实C是由B的每个元素每做一步置换得到的，直到置换到原来的顺序为止。那么，问题可以分解成先对B做置换，并把每步置换的结果写出来，然后A与B相应位置的数做对比，如果相同，认为是对应相等，再把对应相等的数计算出来，中间蕴藏着所有置换后对应相等数的平均数问题，这里才用到了鸽巢原理的推广原理，所以问题得以解决。

第三，扩大变换思想。指对原问题某些特征的量值加以扩大。比如从1到12的自然数中任取7个，则这7个数中，至少有两个数，其中一个是另一个的倍数。这个问题的实质是建立鸽巢，用鸽巢原理求解，因为1-12的自然数中，有一半是奇数，有一半是偶数，而任取7个数，必定多1个数要么是奇数，要么是偶数，所以由鸽巢原理可知，这7个数中，至少有两个数在一个巢中，而它们都除去一切2的因子后的素数相同，故一个数是另一个数的倍数。既然1到12中有这样的结论，那么自然想到，只要是奇偶对半的整数，应该都有相同的结论，故这个问题可以扩大到一个新问题，即从1到2n的正整数中任取n+1个，则这n+1个数中，至少有两个数，其中一个是另一个的倍数。解决方法相同。

第四，缩小变换思想。指对原事物某些特征的量值加以缩小。比如上述编码问题，求解过程仍旧复杂，可以将问题转化为：设A=a1a2…a4是2个0和2个1组成的2进制数。B=b1b2…b4是任意的2进制数，C=c1c2…c8，则存在某个i，1≤i≤4，使得CiCi+1…Ci+7与a1a2…a4至少有2位对应相等。当数值变小时，很容易计算，而且结论可作为推广，所以缩小变换在这里起到了重要的作用，同时也体现了由具体到一般的思维方式。

（3）问题解答总结

问题解答力求简洁清晰，例如上述编码问题，用语言叙述是一种解答方法，但是如果将复杂问题分解成多部分，用矩阵表示各部分的特征，通过矩阵的计算得到结论，不失为一种简洁可行的办法。bi表示矩阵的第i行，aj表示矩阵的第j列，矩阵中的元素dij表示bi与aj中的二进制数的对应结果，比如bi=1，aj=0，则dij=0，如果bi=1，aj=1，则dij=1，这样形成矩阵之后，每行数为1的个数之和即为A与B对应相等的数总数，而矩阵中元素的总数指对应的次数，这种解释更加自然易懂。通过解答，可以总结好的学习方法，利用更多的知识进行交叉使用，会达到意想不到的效果。

（4）研究性问题的设置

研究性问题是对问题的进一步拓展，通过解决现有问题，提出更多新问题，可以帮助教学向研究方向发展，更好地促进科研。比如区组设计一章中，在学习了拉丁方的基础知识，拉丁方和正交拉丁方的定义、性质，正交拉丁方的构造方法等基础上，可以完成较低阶的正交拉丁方构造，来解决一些问题，但是构造高阶拉丁方仍是正在研究的问题，在具体问题中如何应用也是待解决的问题。

基于物元分析的问题教学策略发挥了问题教学策略的优势，采用问题引入来讲解知识，培养了学生学习的兴趣和欲望，同时提出了专业问题设置、基于物元分析的问题解答、研究性问题设置等，在教学上进行了深入分析和探讨，为进一步提高学生的学习效果，提升老师的教学和科研能力进行了有益的探索。

参考文献：

[1]韦义平等.教学策略研究的趋势：主体教学策略发展研究[J].广西师范大学学报：哲学社会科学版，2006，21（4）：105-110.

[2]李萍等.问题教学策略的理论与实践[J].辽宁教育行政学院学报：2006，23（7）：61-62.

[3]蔡文.新学科《物元分析》[J].广东工学院学报：1992，19（4）：105-108.

[4]卢开澄等.《组合数学》[M].清华大学出版社：2011.

作者简介：张海燕（1977.6-），女，汉族，甘肃兰州人，西安科技大学硕士研究生，国防科技大学电子对抗学院副教授，主要研究方向：网络空间安全。