高中数学核心素养的课堂考察

摘要：自2017年数学核心素养提出以来，数学核心素养对于教育实践工作者的备课上课讲课都具有极大的好处，明确课程目标教学目标。但在课中，课后对于数学核心素养的考察，却陷入困境。在这种思维意识上的价值判断难以直观的表现出来。笔者从集合概念教学设计出发来探讨对数学核心素养的考察。

关键词：数学核心素养;集合概念教学

什么是数学核心素养？是数学核心素养是数学课程目标的集中体现，是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现，是在数学学习和应用的过程中逐步形成和发展的[1]。其内容包括数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学建模、数学运算和数据分析六大核心素养，具体表现为人们学习了数学之后，会用数学的观点，数学思维以及数学的方法去观察，认识，改造客观现实世界并解决现实问题或者抽象问题的过程。数学抽象无处不在，人在社会实践的过程中，会无数次把身边的环境或者是现实问题提取、简化并转化为一种简易的可操作、易操作的一个数学系统。在原始概念教学时，这种转化会不断地发生。数学建模是将人们从现实世界抽象出来的或者从抽象领域抽象出来的共有特征用一个具体的变量来表示，并体现出一定的因果关系。

本文以APOS理论和引导—发现教学模式来设计集合概念教学，并主要考察数学抽象、数学建模。

【集合教学案例】

一、课堂引入：

将采用动物世界的几幅图片，引导学生观察图片。图中，有天上的动物、地上的动物、水中的动物、食草动物、食肉动物等等。

师：那刚刚我们对这些动物的划分的依据是什么呢？

生：生活的环境、吃的食物…

师：通过一些条件来划分范围的。

【设计意图：通过对我们熟悉的动物世界来进行对动物的分类，用分类和范围这个先行组织者让学生意识到本节课学习的东西和范围有着一定的关系，由此，引入对于集合的学习】

二、活动操作阶段、获得概念：

（一）

例1：观察下面的例子，是否划定范围？若有，范围是什么？

（1）1～10之间的所有的偶数;

（2）高一4班全体同;

（3）方程x^2-3x+2=0的所有实数根;

（4）平面直角坐标系中到原点距离为2的所有点的整体;

思考1：以上例子划分时候是否一个的标准？或者划定一个范围？

教师讲解分析以上四个例子，学生讨论分析结束后。

师：像上面这样的例子，我们就把他叫做集合。我们学习一个研究对象，要去找到这些概念的特征，请问同学们，根据上面这些例子，集合有什么样的特征呢？

生：他们都有一个确定的范围。

师：非常准确，有一个确定的范围，并且范围里面有我们的研究对象。那请同学们来对集合进行归纳一下？

生：具有确定范围的对象称为集合。

师：同学们都有了自己的认识理解，那我们来看看课本上是怎么定义的呢？

一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。

师：元素用小写字母表示，集合用大写字母表示。那么在这个表示的过程中，我们约定俗成对一些特殊的集合进行表示：

全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N

全体正整数组成的集合称为正整数集，记作N^*或N_+

全体整数组成的集合称为整数集，记作Z

全体有理数组成的集合称为有理数集，记作Q

全体实数组成的集合称为实数集，记作R

集合的相等：若两集合里面的所有元素一模一样，就称这两个集合相

【设计意图：通过上诉例子，让学生自主思考、合作讨论，认识到集合的内涵和外延，总结出对于研究对象的一般特征，从而得出集合的概念】

核心素养考察：通过上述教学引导学生从具体的例子当中抽象出集合这个原始概念的内涵——一定范围内的确定对象，并用大写字母与小写字母来表示集合与元素，用模型予以表示。集合外延可以具体化到生活中的各个角落，如家里的碗筷、化学中的元素周期表中的元素、生物中構成细胞的细胞器等等。其考查方式让班里的同学在各种角度举例，并明确集合及其元素，以模型、符号的形式来表示。在系统的学习中通过体验、认识及内化等过程逐步形成相对稳定的思考问题、解决问题的思维方法和价值观，实质上是初步得到学科特定的认识世界和改造世界的世界观和方法论[2]

（二）

师：现在我们学习了集合、元素，大家再说说集合表示什么意思呢？

生回答

师：那大家根据集合的特征，能不能举个不是集合的例子呢

师生共同讨论（如果已经得出结论，使用下列例子加强认识;否则，由下列例子进行讨论性质）

思考2：学习了集合之后，你是否能举出不是集合的例子？

例2：（1）高一4班长得高的同学

（2）方程x^2-4x+4=0的所有实数根

A={2，2}

（3）1～10之间的所有的偶数

与B={2、8、10、6、4}

元素的性质：确定性、互异性、无序性

【设计意图：同上】

（三）

师：通过刚才的学习，我们知道集合是由元素所组成的，那根据刚才的例1，元素与集合是什么样的关系呢？

生：元素构成的集合

师：是的，那么在数学上，我们有专业的描述：（由具体实例到一般化）

若a是集合A的元素，则a属于A，记作a∈A

若a不是集合A的元素，则a不属于A，记作a∉A

师：请同学们观察例1，他们的元素是不是同一类，若不是，分别属于哪一类？

由师生共同讨论出集合的分类

（1）按元素属性：数集、点集、方程的集合等等

（2）按元素个数：有限集合、无限集合

（四）

师：刚才由上述几个集合，我们可以通过语言来描述，也可以通过图形的方式来表示。大家知道，在数学的世界中，最为突出的是符号语言，那么如何用符号语言来表示集合呢？

师生共同讨论

例2：（1）“地球上的四大洋”组成的集合可以表示为

{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}

（2）“方程x^2-3x+2=0的所有实数根”组成的集合可以表示为{1，2}

把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.

把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.

练习1：用列举法表示下列集合：

（1）小于10的所有白然数组成的集合;

（2）方程x^2=x的所有实数根组成的集合.

思考3：刚才都是能数出个数的集合，要是数不出能一一列举吗？比如：不等式x<10

例3：不等式x<10，因为满足x<10的实数有无数个，所以无法用列举法表示.利用元素的共同特征，即： x是实数，且x<10，把解集表示为{x∈R|x <10}

一般地，A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P（x）的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P（x）}写成这种表示集合的方法称为描述法.

练习2：试分别用描述法和列举法表示下列集合：

（1）方程x^2-2=0的所有实数根组成的集合A

（2）由大于10且小于20的所有整数组成的集合B

师：根据描述法来表示下列集合

奇数集：A={x|x=2n-1，n∈N}

偶数集：B={x|x=2n，n∈N}

9，99，999，9999，…：C={x|x=〖10〗^n-1，n∈N^*}

三、图示练习阶段

练习：

1.判断下列元素的全体是否组成集合，并说明理由：

（1）与定点A. B等距离的点

（2）高中学生中的游泳能手

（3）上课专心听讲的学生

2.用符号“∈”或“∉”填空：

0_（-_N ）; 3_（-_N ）; 〖0.5〗_（=_Z ）;√2 Z;〖1/3〗_（-_Q ）; π_（-_R ）.

3.用适当的方法表示下列集合：

（1）由方程x^2-9=0的所有实数根组成的集合;

（2）一次函数y=x+3与y=-2x+6图象的交点组成的集合;

（3）不等式4x-5<3的解集.

通过过程阶段、对象阶段和图式阶段的教学和学习过程，在學生大脑中建立了一个集合的心智模型，让学生对集合有了一个具体的认知，了解集合的内涵和外延，以及集合的数学表示。在教学过程中，对学生的知识教学固然重要，但其更重要的是对学生数学素养的培养，凸显出过程中情感、态度、价值观在数学核心素养中的重要性，并强调知识与技能、过程与方法、情感态度三者之间的整合以及与情境之间的互动[3]。在教学过程中，不仅得融入数学核心素养的教学，还得在关键时候进行相应的、及时的考察，判断学生是否真正领会了集合概念的内涵和外延。

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修定）[M].北京：人民教育出版社，2020.

[2]李艺，钟柏昌.谈“核心素养”[J].教育研究，2015（9）：17-23.

[3]吕世虎，吴振英.数学核心素养的内涵及其体系构建[J].课程·教材·教法，2017（9）：12-14.

作者简介：姓名：潘涛（1998.04--）;性别：男，籍贯：贵州凤冈，民族：汉族，学历：本科，毕业于重庆师范大学，重庆师范大学，学科教学（数学）专业研究生在读;单位及邮编：重庆师范大学401331。