考虑场地土参数随机性和相关性的地震动降维模拟

刘章军， 郑丽慧， 阮鑫鑫

(1. 三峡大学 土木与建筑学院， 湖北 宜昌 443002； 2. 武汉工程大学 土木工程与建筑学院， 武汉 430074)

大量强震观测记录和震害资料表明，场地条件对地震波的传播有较大的影响，它表现为对地震动的不同频率成分有很强的放大或缩小作用，并直接影响到地震灾害程度的分布[1]。场地条件对震害的影响实际上是由于场地条件对地震动的影响所致，该影响主要表现在对地震动幅值和地震动频谱特性的变化上[2]。随着人们不断的深入研究，现已有诸多关于场地条件对地震动影响的研究成果[3-7]。同时国内外抗震设计规范、地震区划中也不同程度的考虑了场地条件对地震动参数的影响[8-10]。世界各国的抗震规范普遍是以场地的剪切波速为依据进行场地类别划分，不同场地类别给出相应的设计地震反应谱。我国现行规范《建筑抗震设计规范》(GB 50011—2010)考虑了场地条件对反应谱特征周期的影响，《中国地震动参数区划图》(GB 18306—2015)同时考虑了场地条件对地震动峰值加速度和反应谱特征周期的影响。

在地震工程抗震设计中，合理地确定地震动输入，是进行结构随机地震反应分析与抗震可靠度计算的重要基础。由于强震记录的数量有限以及对具体地震环境和场地条件的限制,现有强震动记录难以满足工程结构抗震分析的需求[11]。随着人工模拟随机过程技术的发展，采用随机地震动模型进行模拟获得地震动时程的样本集合是地震动输入领域研究的热点。现阶段，一般依据抗震规范中的基本参数(如地震烈度和场地类别或震级、震中距和场地类别)对应给出随机地震动模型的参数取值(如地震动峰值、持时和场地土的卓越频率和阻尼比等)。但是同一类别场地的地震动特性具有较大的离散性，不同类别场地的地震动特性还常出现交叉，且依据抗震规范给出的随机地震动模型参数取值均为确定性值，只是对场地条件的粗略考虑，无法反映场地条件的随机性。因此，针对场地条件和场地土参数的变异性对地震动影响的研究也开展了许多工作[12-15]。郭婷婷等[12-14]研究了土层参数的随机性对场地地震动参数(加速度峰值与反应谱)的影响。丁艳琼等[15]为克服随机地震动模型的局限性，提出了工程随机地震动的物理模型，在该模型中考虑了局部场地条件对地震动的影响，并假定场地土随机参数是相互独立的。

基于上述研究进展，为了进一步探讨场地条件的随机性以及场地土参数的相关性对地震动的影响，本文在非平稳地震动过程的演变功率谱模型[16]基础上，考虑场地土参数的随机性以及场地土参数之间的相关性，根据非确定性谱幅值(NSA)模拟方法[17-18]，引入随机函数的降维思想[19]，实现非平稳地震动过程的降维模拟，得到非平稳地震动加速度的代表性时程集合。同时，通过数值算例分析与实测强震动记录验证了模拟方法的有效性和工程适用性。

1 非平稳地震动过程的演变功率谱模型

根据非平稳随机过程的Priestley演变谱理论，非平稳地震动加速度过程的演变功率谱密度函数[20]

(1)

式中：SUg(t,ω)为非平稳地震动加速度过程Ug(t)的双边演变功率谱密度函数；S(ω)为相应平稳地震动加速度过程的双边功率谱密度函数；A(t,ω)为时-频调制函数。

对于平稳地震动加速度过程的功率谱密度函数，采用Clough-Penzien谱[21]

(2)

式中:ωg和ξg分别为场地土的卓越圆频率和阻尼比；ωf和ξf分别为基岩的卓越圆频率和阻尼比；S0为地震动的谱强度因子，可定义为[22]

(3)

式中：amax为地震动峰值加速度(PGA)；r为峰值因子。根据文献[11]，非平稳地震动过程的演变功率谱参数取值如表1。

对于非平稳地震动的时-频调制函数A(t,ω)，采用如下形式的调制函数

A(t,ω)=

ω>0

(4)

其中

(5)

在时-频调制函数式(4)中，共有3个参数a，b和c。为了确定3个参数的取值，建议b=a+0.001，c=0.005，其中参数a取值如表1。

在非平稳地震动加速度过程的演变功率谱SUg(t,ω)中，参数ωg和ξg反映了场地土特性。场地土参数ωg、ξg具有较强的随机性，本文将它们视为随机变量。

对于基岩参数ωf和ξf，本文将它们均视为一个确定性量，可定义如下

ωf=0.1×E[ωg]=0.1μ1

(6a)

ξf=E[ξg]=μ2

(6b)

式中，E[·]为数学期望，其中场地土随机参数ωg和ξg的均值如表1所示。

表1 非平稳地震动演变功率谱模型的参数取值

2 场地土参数的随机函数表达

考虑到局部场地土参数的随机性对地震动时程有重要影响，在非平稳地震动过程的演变功率谱模型中，选取场地土的卓越圆频率ωg和阻尼比ξg作为随机参数。为此，可将场地土的随机参数ωg和ξg分别定义为

ωg=μ1(1+δ1α)

(7a)

ξg=μ2(1+δ2β)

(7b)

式中：μ1和δ1分别为随机参数ωg的均值和变异系数；μ2和δ2分别为随机参数ξg的均值和变异系数；α和β分别表示均值为零，方差为1的标准化随机变量。

同时，为了充分考虑场地土随机参数ωg和ξg之间的相关性，进一步地将随机变量α和β分别定义为两个相互独立的基本随机变量Θ1和Θ2的函数形式

α=Θ1sinφ+Θ2cosφ

(8a)

β=Θ1cosφ+Θ2sinφ

(8b)

式中：φ为区间[0,2π)上任一确定性值；Θ1和Θ2是均值为零，标准差为1的相互独立的基本随机变量。

将式(8)代入式(7)中，即可得到场地土参数ωg和ξg的随机函数表达式

ωg=μ1[1+(Θ1sinφ+Θ2cosφ)δ1]

(9a)

ξg=μ2[1+(Θ1cosφ+Θ2sinφ)δ2]

(9b)

于是，场地土随机参数ωg和ξg的相关系数ρωgξg表达式为

(10)

在本文中，假定基本随机变量Θ1和Θ2均服从标准正态分布，并注意到Θ1和Θ2相互独立，根据式(9)可知，场地土随机参数ωg和ξg也都服从正态分布。同时，根据我国现行《建筑抗震设计规范》(GB 50011—2010)中关于场地类别的分类及其特征周期的取值，卓越圆频率ωg从场地类别I0到场地类别Ⅳ是逐渐减小的，而阻尼比ξg从场地类别I0到场地类别Ⅳ则是逐渐增大的。因此，可以认为场地土随机参数ωg和ξg之间是负相关的，即相关系数ρωgξg的取值应当在[-1,0]范围内。

总之，对于场地土随机参数ωg和ξg，本文只需给出均值、变异系数及相关系数等数字特征即可确定它们的概率分布及其相关性，这为工程应用提供了方便。

3 非平稳地震动过程的降维模拟

在非平稳地震动过程的演变功率谱理论基础上，文献[19]建议了一类实非平稳地震动过程模拟的源谱表达

Ug(t)=

(11)

式中：Ug(t)为非平稳地震动加速度的模拟过程；Δω为频率步长，ωn=nΔω；N为频率截断项数。

E[Xn]=E[Yn]=0,E[XmYn]=0

(12a)

E[XmXn]=E[YmYn]=δmn

(12b)

式中，δmn表示Kronecker符号。

由于式(12)中标准正交随机变量Xn和Yn的概率分布未给定，因而不能直接用于模拟。为此，根据文献[17-18]提出的两种谱表示方法，即确定性谱幅值(DSA)方法与非确定性谱幅值(NSA)方法。在确定性谱幅值(DSA)方法中，幅值是由功率谱密度函数来确定的，而非确定性谱幅值(NSA)方法中的幅值却具有随机性。考虑到地震动峰值加速度本身具有随机性，本文应用非确定性谱幅值(NSA)方法，同时引入随机函数的思想[19]，实现非平稳地震动过程的降维模拟。

3.1 传统的非确定性谱幅值(NSA)模拟方法

Xn=Ancosφn,Yn=Ansinφn

(13)

将式(13)代入式(11)，得到传统的非确定性谱幅值模拟方法

(14)

因此，式(14)也可以表示为

(16)

式(14)和式(16)统称为传统的非确定性谱幅值(NSA)模拟方法。

3.2 基于非确定性谱幅值(NSA)的降维模拟

传统的非确定性谱幅值(NSA)模拟方法往往需要高达上千个随机变量才能保证所需的精度，从而极大地增加了复杂结构非线性随机地震反应分析的难度。因此，利用随机函数的降维思想，将源谱表达式(11)中的标准正交随机变量定义为2个基本随机变量的正交函数形式，从而实现非平稳地震动过程模拟的高效降维。

(17)

式中：基本随机变量Θ3和Θ4相互独立，且都服从区间[0,2π)上的均匀分布；α是区间[0,2π)上的确定性常数，本文取α=π/4。

将式(17)代入式(11)中，得到非平稳地震动过程的降维模拟

Ug(t)=

(18)

其中

(19)

式中：基本随机变量Θ3反映了地震动幅值的随机性；Θ4则反映了地震动相位的随机性。

总之，在非平稳地震动过程的降维模型中，共有4个基本随机变量Θ1、Θ2、Θ3和Θ4，其中Θ1和Θ2表征场地土参数的随机性，Θ3表征地震动幅值的随机性，Θ4表征地震动相位的随机性。由于Θ1和Θ2是相互独立的，因此可以认为4个基本随机变量Θ1、Θ2、Θ3和Θ4是相互独立的。这样，仅需4个相互独立的基本随机变量即可模拟非平稳地震动加速度过程，从而克服Monte Carlo模拟方法需要上千个随机变量的局限性，为复杂工程结构的随机地震反应分析和抗震可靠度计算奠定了基础。

4 数值算例

4.1 降维模拟的实现

(20)

式中，Φ(·)为标准正态随机变量Θi(i=1,2)的分布函数。于是，对式(20)进行逆变换得到

(21)

式中，Φ-1(·)为标准正态分布函数Φ(·)的反函数。

θi,l=Φ-1(ϑi,l)，i=1,2；l=1,2,…,nsel

(22)

θi,l=2πϑi,l，i=3,4；l=1,2,…,nsel

(23)

于是，将基本随机变量Θ1和Θ2的代表性点{θ1,l,θ2,l}(l=1,2,…,nsel)依次代入式(9)中，得到nsel组场地土随机参数ωg和ξg的代表性取值。同时，也将基本随机变量Θ3和Θ4的代表性点{θ3,l,θ4,l}(l=1,2,…,nsel)依次代入式(18)中，即可得到nsel条非平稳地震动加速度过程的代表性时程。显然，每条代表性时程都具有给定的赋得概率Pl(l=1,2,…,nsel)，且所有nsel条代表性时程构成一个完备的概率集合。

4.2 结果分析

本文仅考虑地震烈度为8度，设计基本地震动加速度PGA=0.2g，地震动加速度过程降维模拟的参数取值为：频率截断项数N=1 600，频率步长Δω=0.15 rad/s，截断频率ωu=240 rad/s；地震动持时T=40 s；时间步长Δt=0.01 s；地震动峰值加速度amax=200 cm/s2；代表性时程的数量nsel=307。同时，为了考虑场地土随机参数ωg和ξg的相关性对地震动时程的影响，表2给出了相关系数ρωgξg的三种不同情况，以及场地土随机参数ωg和ξg的变异系数。

表2 场地土随机参数ωg和ξg的取值

图1给出了场地类别Ⅰ1条件下的随机参数ωg和ξg的概率分布。从图1中可见，随机参数ωg和ξg的代表性离散值的直方图分布与目标的正态分布拟合很好，表明本文所采用的数论方法以及反变换方法生成基本随机向量的代表性点集是十分有效的。

(a) 随机参数ωg

(b) 随机参数ξg

图2分别给出了场地类别Ⅰ1和Ⅲ条件下的3种不同相关系数时，降维模拟方法所生成的地震动代表性时程。从图2中可见，同一场地类别的同一条代表性时程随相关系数ρωgξg的取值不同，代表性时程的频率成分差异明显。因此，场地土随机参数ωg和ξg的相关性对地震动代表性时程的影响较大，随着随机参数ωg和ξg线性相关的程度较好时，即|ρωgξg|值越大时，地震动加速度代表性时程的高频成分更加丰富。

(a) 场地类别Ⅰ1

(b) 场地类别Ⅲ

图3分别给出了相关系数ρωgξg=-0.5时场地类别Ⅰ1和Ⅲ条件下的地震动代表性时程。从图3中可见，同一场地类别所生成的地震动加速度代表性时程，在强度和频率非平稳特性以及地震波形等方面表现出明显的差异，且不同场地类别的地震动加速度代表性时程在频谱成分、波形、持时等方面均表现出明显的差异。

图4分别给出了场地类别Ⅰ1和Ⅲ条件下的相关系数ρωgξg=-0.5时，降维模拟方法所生成的地震动加速度代表性时程集合的均值及标准差与目标值的比较。从图4中可见，地震动加速度代表性时程集合的均值及标准差在目标值的上下微小波动，两者的拟合程度较好。

(a) 场地类别Ⅰ1

(b) 场地类别Ⅲ

(a) 场地类别Ⅰ1

(b) 场地类别Ⅲ

进一步，表3给出了地震动加速度代表性时程集合的均值及标准差的相对误差。从表3中可见，场地土随机参数ωg和ξg的相关性对均值的相对误差有一定的影响，而对标准差的相对误差的影响很小。同时，地震动加速度代表性时程集合的均值和标准差的相对误差均小于5%，表明所有场地类别的代表性时程集合的模拟结果均与目标值拟合较好。

表3 模拟非平稳地震动过程的均值和标准差的相对误差

5 基于实测强震动记录的验证

为了进一步说明本文方法的有效性，将模拟的非平稳地震动代表性时程与实测强震动记录进行比较。采用文献[11]中选取的来自中国以及世界其他地区的共计61次地震中记录到的920条水平地震动。同时，文献[11]根据《中国地震动参数区划图》中规定的场地类别Ⅰ0、Ⅰ1、Ⅱ、Ⅲ及Ⅳ，给出了Vs30(地表以下30 m范围内的平均剪切波速)的取值范围与5类场地类别之间的对应关系，以及对应于不同场地类别的强震动记录数量。为了进行比较，计算了所选920条强震动记录的加速度反应谱和Fourier幅值谱。考虑到强震动记录的噪声影响，根据信噪比可取Fourier幅值谱的有效频率范围为0.2～30 Hz。

图5分别给出了实测强震动记录的加速度反应谱及加速度Fourier幅值谱与本文方法模拟结果的比较。为简便起见，图5仅给出了相关系数ρωgξg=-0.5情况下Ⅰ1和Ⅲ类场地的结果。事实上，所有场地类别的实测强震动记录均在模拟均值的1倍标准差范围内，且与模拟均值的拟合较为一致。这表明，本文方法模拟的地震动加速度过程具有良好的工程适用性。

6 结 论

本文在非平稳地震动过程的演变功率谱模型基础上，建议了一种能够考虑场地土参数随机性和相关性的随机函数表达。同时，应用非确定性谱幅值(NSA)方法，引入随机函数的降维思想，模拟非平稳地震动随机过程，生成地震动加速度过程的代表性时程集合。本文方法的优点在于，既考虑了场地土参数的随机性对地震动时程的影响，又考虑了场地土参数之间的不同相关系数对地震动时程的影响。数值算例分析与实测强震动记录验证了本文方法的有效性和工程适用性，得出以下结论：

(a) 场地类别Ⅰ1

(b) 场地类别Ⅲ

(1) 考虑场地土参数的随机性，通过构造场地土参数的随机函数形式，实现只需4个基本随机变量即可对地震动加速度过程进行降维模拟。对于同一场地类型所生成的地震动加速度代表性时程，在强度非平稳和频率非平稳特性以及地震波形等方面表现出明显的差异，能够直接反映地震动显著的随机性和非平稳性。

(2) 考虑场地土参数之间的相关性，通过考虑场地土参数的3种不同相关系数所生成的地震动代表性时程，可以发现场地土参数的相关性对地震动代表性时程的频率成分影响较大，即随着场地土随机参数ωg和ξg线性相关的程度较好时，地震动加速度代表性时程的高频成分更加丰富。

(3) 基于NSA的降维模拟方法生成的地震动加速度过程的代表性时程的平均值和标准差与目标值吻合较好。采用数论方法以及反变换方法生成基本随机向量的代表性点集是十分有效的，进而生成的每一条代表性时程都具有相应的赋得概率，且所有的代表性时程并构成一个完备的概率集，这为应用概率密度演化理论进行复杂工程结构的随机地震反应分析及抗震可靠度精细化计算提供了基础。