标准化值与评价值的评价功能研究——从相对评价的视角

陈鹏宇

(内江师范学院 地理与资源科学学院，四川 内江 641100)

0 引言

随着评价问题的日益复杂，传统的单指标评价方法已难以满足对复杂问题的评价需求，在此背景下，多指标综合评价方法得到了广泛的应用[1-2]。在许多评价问题中，各指标往往具有不同的量级和量纲，需要对原始数据进行标准化或无量纲化处理，消除指标在量纲及量级上的差异，以使指标信息可以进行有效集结。现有标准化方法(或称无量纲化方法)很多，以线性标准化方法最为常用，代表性的有min-max标准化、极大值标准化、z-score标准化和均值标准化等。在不同的文献中，这些标准化方法的名称可能不同。由于不同的标准化方法计算原理不同，主要性质总是存在一些差异[3-5]，导致采用不同的标准化方法，可能会得到不同的评价结果[5-8]。所以，现有研究主要关注标准化方法对评价结果的影响以及如何选择合适的标准化方法[5-8]。标准化作为综合评价的基本过程，评价者一般不会关注标准化值的评价功能，即根据标准化值的大小直接进行优劣判断[9]。对于某个评价指标或评价问题，如果有独立于样本的评价标准，可称为绝对评价。比如考试成绩，100分满分，≥60分及格，≥90分优秀，这些都是独立于样本的评价标准，可直接按此评价标准判断某个学生学习成绩的优劣。对于某个评价指标或评价问题，如果没有独立于样本的评价标准，或评价标准与样本有关，可称为相对评价[10]。社会经济中的许多评价问题都属于相对评价，比如城市竞争力评价[11]、经济发展质量[12]和科技发展水平评价[13]等。在这些评价中，标准化值和评价值都没有独立于样本的评价标准，它们都只能用于确定评价指标和评价对象的相对优劣水平，不能直接进行优劣判断。那么能否在没有独立于样本的评价标准的情况下，实现标准化值和评价值的评价功能，即直接进行优劣判断？为了解决上述问题，俞立平等[9]提出了sigmoid标准化方法，认为该方法具有评价功能，可直接根据标准化值进行优劣判断；同时还指出，采用sigmoid标准化的TOPSIS具有评价功能，可以直接根据评价值进行优劣判断。在没有独立于样本的评价标准时，sigmoid标准化与其他标准化方法一样，标准化值都由原始数据决定，在标准化值的基础上建立的评价标准(比如，≥0.6及格)都与原始数据(样本)有关，所以sigmoid标准化仍然属于相对评价的范畴，并不能直接根据标准化值进行优劣判断，同样采用sigmoid标准化的TOPSIS也不能直接根据评价值进行优劣判断。可见，要研究标准化值或评价值的评价功能，必须要明确区分相对评价和绝对评价。在没有独立于样本的评价标准的情况下，标准化值和评价值都不能直接用于优劣判断。在这种情况下，需要重新审视标准化值和评价值的评价功能。从相对评价的视角，本文将标准化值和评价值的评价功能定义为根据标准化值或评价值直接进行相对优劣判断。

判断某个评价对象指标值或评价值的相对优劣水平并非难事，通过与其他评价对象的指标值或评价值进行比较即可。但是如果能够通过标准化值或评价值直接进行相对优劣判断，则评价者可直接对评价对象的相对优劣水平进行解读。比如，如果采用min-max标准化，则最优值为1，最劣值为0，标准化值直接反映了相对优劣水平，此时标准化值≥0.6可理解为相对于最优值和最劣值的及格标准。如果采用TOPSIS，则理想解的评价值为1，负理想解的评价值为0，评价值直接反映了相对优劣水平，此时评价值≥0.6可理解为相对于理想解和负理想解的及格标准。但是，大部分标准化方法和评价方法并不具备上述评价功能，必须通过指标值或评价值的相互比较才可以确定相对优劣水平。比如，采用z-score标准化时，最优值和最劣值不固定，且标准化值存在负值；采用z-score标准化的线性加权综合法，最优值和最劣值同样不固定，且评价值存在负值。对于相对评价，评价值存在负值没有关系，同样可以通过对比评价值判断评价对象的相对优劣水平，但是如果能实现评价值的评价功能，对于综合评价而言，无疑更具有意义。线性加权综合法和TOPSIS是两种常用的评价方法[14]，从相对评价的视角，TOPSIS的评价值已具备评价功能，所以本文将重点研究如何实现线性加权综合法评价值的评价功能，同时分析标准化值与评价值在评价功能上的区别和联系，以指导标准化方法的选择。

1 标准化值的评价功能

选用常用的标准化方法进行说明，包括min-max标准化、极大值标准化、均值标准化和z-score标准化。为做对比分析，也选用sigmoid标准化。评价指标一般包括正向指标与反向指标，两者原理相近，所以本文以正向指标的标准化进行说明。各标准化方法的计算公式如下：

min-max标准化：

(1)

式(1)中，Xij是第i个评价对象第j个指标的原始值，xij为相应的无量纲化值。

极大值标准化：

(2)

均值标准化：

(3)

z-score标准化：

(4)

式(4)中，σj为第j个指标的标准差。

sigmoid标准化：在文献[9]中，sigmoid标准化是将z-score标准化值代入sigmoid函数进行标准化，

(5)

对于上述标准化方法，如果有明确的限制性标准，且标准化值限制在[0,1]范围内，则可以根据标准化值直接进行相对优劣判断。以xij≥0.6代表相对及格，以xij≥0.9代表相对优秀，可以推导出与原始数据有关的等效评价标准，如表1所示。在表1中，限制性标准左边部分代表原始值，右边部分代表标准化值。

表1 不同标准化方法标准化值的评价标准

从表1可以看出，均值标准化和z-score标准化不能将标准化值限制在[0,1]范围内，而且最优值和最劣值不固定，所以无法建立相对及格和相对优秀的评价标准。min-max标准化以maxiXij≡1，miniXij≡0为限制性标准，标准化值直接反映了相对于最优值和最劣值的优劣水平；极大值标准化以maxiXij≡1，0≡0为限制性标准，标准化值直接反映了相对于最优值和零值的优劣水平。2种标准化方法都将标准化值限制在了[0, 1]范围内，可建立相对及格和相对优秀的评价标准。只不过2种标准化方法的限制性标准有所差异，所以标准化值所代表的相对优劣水平有所差异。

综上所述，从相对评价的角度，min-max标准化值和极大值标准化值具有评价功能，可直接判断相对优劣水平，只不过标准化值所代表的相对优劣水平有所差异；均值标准化值和z-score标准化值不具有评价功能，但仍然可以通过标准化值的对比判断相对优劣水平；sigmoid标准化值的评价功能要弱于min-max标准化值和极大值标准化值，因为它的限制性标准不明确，所以标准化值所代表的相对优劣水平不明确。在没有独立于样本的评价标准的情况下，现有标准化值都不能直接用于优劣判断。

2 评价值的评价功能

在没有独立于样本的评价标准时，现有标准化值都不能直接用于优劣判断，相应的，评价方法的评价值也不能直接用于优劣判断。在这种情况下，只需要研究评价值是否具有直接进行相对优劣判断的评价功能。以线性加权综合法和TOPSIS为例。从相对评价的视角，TOPSIS的评价值已具备评价功能，评价值的计算公式如下[15]：

(6)

TOPSIS评价值直接反映了评价对象相对于理想解和负理想解的优劣水平，且不受标准化值评价功能的影响。即使采用不具评价功能的均值标准化值和z-score标准化值等，也不影响TOPSIS评价值的评价功能。

线性加权综合法的计算公式如下：

Ci=w1xi1+w2xi2+…+wnxin。

(7)

当采用min-max标准化或极大值标准化时，线性加权综合法的评价值具有评价功能，可直接反映评价对象相对于各指标均为最优值(理想解)和各指标均为最劣值(负理想解)或各指标均为零值的优劣水平。当采用均值标准化和z-score标准化时，线性加权综合法的评价值不具有评价功能，因为评价值既不能限制在[0,1]之间，也不具有固定的最优值和最劣值。在这种情况下，可通过对评价值进行线性转换以实现其评价功能。均值标准化或z-score标准化后，计算各评价对象的评价值，以及各指标同时取最优值或最劣值对应的评价值为：

(8)

(9)

(10)

对Ci进行线性变换，且满足：

Si=ACi+B，

(11)

A·max(C)+B=1，

(12)

A·min(C)+B=0。

(13)

这样，可以满足各指标均为最优值(理想解)时，评价值为1；各指标为最劣值(负理想解)时，评价值为0。线性变换不会改变评价值的相对差异，即评价对象的相对优劣水平。根据式(12)和(13)计算参数A、B，并代入式(11)可得：

(14)

对于熵权法、层次分析法等线性评价方法，可直接采用式(14)对评价值进行线性转换实现其评价功能。对于主成分分析和因子分析等降维方法，一般情况下评价值与主成分和主因子之间具有线性关系，而主成分和主因子与评价指标之间也可视作线性关系，所以评价值与评价指标之间也是线性关系，可写出如式(7)的表达式，再按照式(14)对评价值进行线性转换也可实现其评价功能。

3 实证分析

3.1 三种标准化值的评价功能

以2014年和2017年四川省各市州人均GDP数据为例，说明min-max标准化值、极大值标准化值和sigmoid标准化值在评价功能上的区别，标准化值和原始值如表2所示。从2014年到2017年，四川省各市州的人均GDP都在不同程度上得到了提高，单从人均GDP来看，各市州的经济水平得到了提升。从2014年到2017年各市州的sigmoid标准化值既有增加也有降低，但是sigmoid标准化没有明确的限制性标准，无法判断相对优劣水平是如何变化。从2014年到2017年各市州的min-max标准化值同样既有增加也有降低，但可以直接进行对比。比如，成都市2014年的标准化值为0.989，2017年的标准化值为0.924，说明成都市的人均GDP在四川省的相对优劣水平下降了。除攀枝花市以外，各市州的极大值标准化值总是大于min-max标准化值，这是因为极大值标准化以零值为限制性标准，而min-max标准化以最劣值为限制性标准。

表2 四川省各市州的人均GDP数据及标准化值

3.2 标准化值与评价值在评价功能上的独立性

TOPSIS评价值的评价功能不受标准化值评价功能的影响；经过线性转换后，线性加权综合法评价值的评价功能不再受标准化值评价功能的限制。所以，评价者必须区别看待标准化值和评价值的评价功能，也必须区别应用标准化值和评价值的评价功能。以区域经济评价为例进行说明，简单起见，以GDP和GDP增速2个评价指标为例，采用等权重评价。假定有4个行政区，原始值如表3所示，4种标准化值见表3，2种评价方法的评价值见表4。

由于GDP一般不会接近于0，而GDP增速可能出现负值的情况，建议优先采用min-max标准化。对于单个指标而言，min-max标准化值可以直接反映评价对象在该指标上相对于最优值和最劣值的优劣水平。但是，如果是综合评价，则需要注意标准化方法的使用。评价对象的相对优劣水平由评价值的相对差异决定，根据线性加权综合法和TOPSIS的计算原理，评价值的相对差异与各指标的差异性有关。不同的标准化方法会影响各指标的差异性[7-8]，对于量纲不同的原始数据，以标准差除以均值即变异系数表示各指标的差异性；对于标准化值，直接以标准差表示各指标的差异性。

从表3中可以看出，GDP的差异性远大于GDP增速。如果采用min-max标准化，则这种差异性的区别会被掩盖，min-max标准化后各指标的极差统一为1，各指标的标准差往往比较接近。表3中min-max标准化后GDP和GDP增速的标准差分别为0.438和0.430，非常接近。这种情况下，GDP和GDP增速在评价中的作用相似，比如，min-max标准化后表4中线性加权综合法和TOPSIS所确定的甲市和丁市的评价值相等，而甲市的GDP是丁市的10倍，但两市的GDP增速差异仅为0.3%，即min-max标准化提高了GDP增速在评价中的作用。z-score标准化直接消除了原始数据在差异性上的区别，GDP和GDP增速的标准差统一为1，各指标在评价中的作用趋于均衡。min-max标准化在社会经济评价中的应用非常广泛，相比之下，z-score标准化意义更为明确，建议优先采用z-score标准化。

极大值标准化改变了原始数据在差异性上的区别，极大值标准化后2个指标的标准差分别为0.394和0.016，两个指标在差异性上的区别缩小了，但这种变化并不明确，由原始数据的极大值决定。均值标准化后，各指标的标准差等于原始数据的变异系数，即按原始数据的差异性发挥各指标在评价中的作用。这种情况下，GDP在评价中的作用远大于GDP增速。对比表4和表3，可以看出均值标准化后评价值的相对差异与GDP的相对差异非常接近。因此，如果评价者期望按原始数据的差异性发挥各指标在评价中的作用，建议采用均值标准化。

线性加权综合法和TOPSIS的计算原理不同，两种方法的评价值总是存在一定差异，但是由于本文统一了线性加权综合法和TOPSIS评价值的评价功能，两种方法的评价值可直接进行比较，以对比分析两种方法的区别。

表3 原始数据和标准化值

表4 两种评价方法的评价值

4 结论

研究标准化值或评价值的评价功能，必须要明确区分相对评价和绝对评价。从相对评价的视角，本文将标准化值和评价值的评价功能定义为根据标准化值或评价值直接进行相对优劣判断。从相对评价的视角，min-max标准化值和极大值标准化值具有评价功能，sigmoid标准化值评价功能欠佳，均值标准化值和z-score标准化值不具有评价功能；TOPSIS的评价值具有评价功能，线性加权综合法评价值的评价功能受标准化方法的影响，但可通过对评价值进行线性转换实现其评价功能。