数学问题解答

(江西省高安市石脑二中 王典辉 330818)

(重庆三峡学院数学与统计学院 陈晓春 404000)

(天津水运高级技工学校 黄兆麟 300456)

( 安徽省六安第二中学 陶兴红 237005 )

(河南辉县一中 贺基军 453600)

(浙江省海盐县元济高级中学 张艳宗 314300;北京航空航天大学图书馆 宋庆 100191)

(浙江台州市洪家高级中学 邬天泉 318000)

(河南质量工程职业学院 李永利 467001)

2020年11月号问题解答

(解答由问题提供人给出)

2571在△ABC中，试证：

(浙江湖州市双林中学 李建潮 周秋斓 313012)

证明在△ABC中，有

同理可得

以上三式相加，并利用三角形恒等式

可得

(1)

注意到三角形恒等式

而把(1)式简化为

(2)

2572已知⊙O是△ABC的外接圆(如图)，E,F分别是两边AB,AC的中点；CM，BN分别是AB，AC边上的高，相交于点H；EF，MN交于点P,联结AP，OH.求证：AP⊥OH.

(江西省高安市石脑二中 王典辉 330818)

证明设⊙O的半径为R,AB=c,AC=b.

延长AP、MN分别交底边BC及其延长线于Q，L两点(如下图).

因为BN⊥AC，CM⊥AB,有B，C，N，M四点共圆，得∠AMN=∠ACB.

联结AO并延长交⊙O于J,联结BJ,

联结AH并延长交BC于K.

因为∠ABJ=∠AKC,

∠AJB=∠ACB=∠ACK,

所以△ABJ∽△AKC,

可得∠BAJ=∠KAC.

因为∠AMN+∠BAJ=∠ACB+∠KAC

=90°,

所以AJ⊥MN,也就是AO⊥MN.

在△AOH和△LPQ中，

AO⊥LP，AH⊥LQ,

所以∠OAH=∠PLQ.

直线MPL截△ABQ，应用梅涅劳斯定理得

①

又因为EF是△ABC的中位线，

所以EF∥BC,有QP=PA,

②

直线BQL截△AMP,应用梅涅劳斯定理得

③

由③÷②得

在△LMB中应用正弦定理得

④

联结BO并延长交⊙O于点D,

联结DC、DA,作OG⊥BC交BC于点G,易得四边形AHCD为平行四边形，可得AH=DC.

又因为OG=OB·cos ∠BOG=R·cosA

所以AH=2RcosA,故

⑤

因为∠OAH=∠PLQ，

所以△AOH∽△PLQ.

根据两个相似三角形有两组对应边互相垂直，则知第三组对应边也一定垂直,

所以AP⊥OH.

2573已知实数a,b,c,d>0，且a+b+c+d=1，求证：

(重庆三峡学院数学与统计学院 陈晓春 404000)

证明当a+b+c+d=1时，

ab+bc+cd+da=(a+c)(b+d)

由柯西不等式有

2574设k为正整数,求证不定方程4kx2-y2=1无整数解.

(天津水运高级技工学校 黄兆麟 300456)

证明(1)当y为偶数时,

原方程可变形为y2=4kx2-1,

注意到上式左边为偶数,同时右边为奇数,矛盾.

故知y为偶数时原方程无整数解.

(2)当y为奇数时,

原方程可变形为y2-1=4kx2-2,

进一步可变形为

y-1为偶数,那么左边即为偶数,

同时右边为奇数,矛盾.

故知y为奇数时原方程也无整数解.

综合(1),(2),知原不定方程无整数解.

(江苏省海门中学 徐巧石 226100)

所以8b+b2+4-4bcosA+4-b2

2020年12月号问题

(来稿请注明出处——编者)

( 安徽省六安第二中学 陶兴红 237005 )

(河南辉县一中 贺基军 453600)

2578已知正实数x,y,z满足x+y+z=1，求证：

(浙江省海盐县元济高级中学 张艳宗 314300;北京航空航天大学图书馆 宋庆 100191)

2579以AB为直径的圆⊙O的方程为x2+y2=1，A(1，0).C为射线AB上一个动点，D位于直线AB上方，DC⊥AB于C点，△ACD的CD边的旁切圆⊙P与⊙O相切.试证：P点的轨迹方程为2y=|x2-1|，(x<1且x≠-1).

(浙江台州市洪家高级中学 邬天泉 318000)

2580如图所示，在△ABC中，三内角A,B,C的对边分别为a,b,c，P为△ABC内一点，且∠PAB=∠PBC=∠PCA(即P为△ABC的勃罗卡点)，△ABC的外接圆半径为R，△PBC,△PCA,△PAB的外接圆半径分别为R1,R2,R3，则

(1)R1R2R3=R3；