教材分析从理解走向探究：寻找均值不等式链中的主线

葛慧敏 徐章韬

(华中师范大学 数学与统计学学院 430079)

1 引言

下面是在教材深度分析中，通过探究来理解教材的一个案例.这个案例的作用不只是从另外一个角度理解均值不等式，而是为了阐明一种一线串通的思考路径.

2 各种平均数的得来

2.1 算术平均数

2.2 调和平均数

(1)变常数

(2)分式变换

进行倒数变换.倒数变换是代数变形中的一种常见技法.

2.3 几何平均数

(1)常数变易

(2)变常数为未知数

(3)分式变换

2.4 平方平均数

(1)常数变易

(2)分式变换

3 各种平均数的统一

3.1 引出凸、凹函数的概念

3.2 得到大小关系链

再由比例的性质有

故有Q>A>G>H.

3.3 从几何上说明

古希腊人为了克服无理数的困扰，对线段比十分热衷.平行线分线段成比例定理更是相似三角形的基础.由此，可以得到上述不等式链的几何说明.

如图1，四边形ABCD为梯形，其中AB=a,DC=b(不妨设a

图1

(1)分别计算线段EF,GH,KL,IJ的长度.

② 因为梯形ABLK∽梯形KLCD,

④ 如图2计算IJ的长度，延长CB与DA交于点M.

图2

(2)研究线段EF,GH,KL,IJ在梯形ABCD中的位置.

图3

如图3，设线段KL与线段BD交于点O1,线段GH与线段BD交于点O2,线段IJ与线段BD交于点O3.

4 分析与讨论

在上述过程中能够看到，采取的主体思路是：以定比分点公式为主线串通均值不等式链.通过算术平均数的定义引入定比分点公式的表示，猜想定比分点公式可以推导出调和平均数、几何平均数和平方平均数；把握三种平均数的特点，利用常数变易和分式变换两条变换路线进行推导；说明均值不等式链中的各种平均数都可以通过定比分点公式而得到.最后从函数、几何的角度再次认识均值不等式链.

在这个过程中，体现了以“一线串通”的方式，多方向多维度对均值不等式进行探索.在探索的过程中，从定比分点的角度，深刻理解四种平均数的概念以及平均数之间的不等关系，将定比分点与平均数的来源与概念融合，进行层次性的变换；将不等关系从数过渡到线段中的定比分点，进行维度的升华，体现了数学的渐变性与统一性；同时也建构了几何与代数、函数与不等式之间的桥梁，增添了课程的趣味性与深度.

对教材进行深度分析是教师的基本功之一.有两条基本路径.其中一条是对已有的文本进行多角度的理解，或者是从高观点解读、或者是从多角度解读、或者是从横向关联的角度进行解读.其目的在于“理解数学”，把已有文本后面的数学的精神、思想、方法揭示出来，让学生获得不一样的体会.第二种路径是就通过探究来理解教材，就如进攻是最好的防御一样，做数学探究也是一种理解教材的好方式.

数学的本质是自由，数学教学是培养创造性思维的舞台，在大学课堂教学中更应如此.本课例是在课堂教学中，通过教基本知识，以一线串通相关知识，举一反三思考问题而产生的一个思考结果.通过研究深化了学生对均值不等式链的理解，更为重要的是培养了学生创造性的思维，导引了他们的思考.