数学分析教学初探

李志刚 范玉双 赵明 马兆海

摘要：本文从教学角度初步探讨了如何教学能使学生更好地学习数学分析及提高解题能力的一些想法作法。以极限概念，定积分概念，一致收敛概念的讲述为例指导学生如何学习认识分析数学的本质及如何进行某种程度研究工作。文章认为将数学思想与数学知识、数学学习与数学研究在某种程度上统一起来是必要的。

关键词：数学分析;极限;确界;定积分;一致收敛

一、引言

数学分析是数学系学生的一门专业基础课，是后续分析课程的基础，大部分后续分析课程的思想方法在数学分析课中都有所体现，数学分析部分内容也是某些后续分析课程中一些抽象概念的具体实例。同时学习数学分析也可以很好地训练学生的观察分析能力，逻辑思维能力，以及一般的解决数学问题的能力。如何教学能使学生更好地学习数学分析及提高解题能力，如何教学能使学生认识分析数学的本质及提高研究能力，这是本文要探讨的问题。

二、如何讲述概念

数学分析作为近代数学的主干，内容极其繁杂，但其主要内容却是与极限概念相关的。极限概念大约从2，3000年前开始发端，大约500年前开始进入爆发期，在数学方面产生了丰硕成果，但其严格定义及完整的数学基础却是在二，三百年前才完全建立起来的，这就是实数理论及极限的定义。其中语言具有普遍意义，在后续课程中直接大量运用，是学生首先要掌握的，是最重要的教学内容。

在进行极限概念教学时，主要遵循先具体直观，再抽象概括的教学方法，以体现从具体问题中抽象出一般概念的数学方法。下面以数列极限教学为例进行说明。函数极限教学方法与数列极限教学方法类似。

由于学生在中学已经简单地学过极限概念，因此主要教学内容是从具体例子中提炼出抽象的数列极限定义。

有上述具体例子后，就可以抽象出数列极限的一般定义了：已知数列及常数，若在的变化过程中，的值无限接近常数，即在的变化过程中，的值无限变小、无限接近0，即，在的变化过程中，可以变得<，即若>0，总，使得>时，总有<成立，则称时，的极限为。接下来就是用极限的抽象定义证明具体的极限了，包括直接解不等式和适当放大法等方法，题目不宜过多过难，主要目的是使学生了解适应极限的抽象概念。常见典型题目比如主要用于理解极限定义，=主要用于说明适当放大法，主要用于说明适当放大法的放大程度，主要用于说明适当放大法中不等式的形成等等。

实数理论是极限存在的理论基础，由于学时所限，本课程不严格讲述实数理论，只是简单地把实数定义为无限十进小数，并在此基础上证明实数集合的确界原理。确界概念与原理在数学分析后续章节及后续课程中有广泛应用，是一年级上学期教学另一大重点。在教学中也要遵循先具体直观，再抽象概括的教学方法，应该重点讲述实数集合的上下界，上下确界及其等价概念。首先，以集合为例，说明非空实数集合的上下界概念，然后从中抽象出上下界的一般概念。其次再以集合为例，说明非空实数集合上下确界概念即最准确上下界的概念，然后从中抽象出上下确界的一般定义及其等价定义并通过证明集合的上下确界分别为3，1，使学生了解如何证明集合的上下确界从而加深对集合上下界及上下确界的理解。再次以集合为例说明在有理数域内有上下界的集合可以在有理数域内没有上下确界，因此需要将有理数域拓广为实数域。而在实数域内可以证明确界原理即有上下界的非空实数集合在实数域内必有上下确界，由此出发可以证明单调有界数列必有极限及满足柯西收敛准则的数列必有极限。另外确界性质在极限理论及积分理论，级数理论中也有广泛应用，应该作为教学重点内容。在讲述确界性质时，也应以简单证明为主，尽量避免繁琐细节，使学生尽快了解内容主线，掌握主导思想。下面以题目“设为非空有界实数集合，证明”为例来说明。主要是要证明集合的上确界为。分两步：第一证明，总有;第二证明使得，使学生充分理解上（下）确界概念。再以题目“设为实数集合上有界函数，证明不等式”为例子来说明如何证明确界不等式。重點在于将看成两个数，只要证明即可。为什么要这样证明呢？主要是要让学生在开始就观察到不等式，均有，，由此可以推出，这样按照下确界定义，不等式就成立了。

在教学中除了要遵循先具体直观，再抽象概括的教学方法外，还应该充分重视问题产生的背景以及前人为了解决此问题究竟作了哪些探索，产生了什么想法，获得了什么成果，以提高学生的学习兴趣及研究欲望，更好地掌握相关概念和知识主线。下面以定积分为例作说明。定积分概念是数学分析中最复杂的概念之一，直接讲述学生难以理解，因此在讲述此概念时应该从概念产生的背景比如求平面图形面积开始。求平面图形面积及立体体积是一个古老的问题，古希腊时期人们就开始探索，由于时代的局限，没能产生一般理论。文艺复兴时期许多研究者用了巧妙的方法得到了许多具体图形的面积，但也没产生一般理论。比如用表示轴、抛物线及直线所围曲边三角形面积，为了求将闭区间等分成个长度相等的小闭区间，用个宽为，高为的矩形的面积之和作为的不足近似值，用个宽为，高为的矩形的面积之和作为的过剩近似值，则有，简化后得到，即，但由于没有极限理论，人们只能用反证法证明。而且这种方法也有很多疑问，比如为什么要等分区间，不等分时还能说明吗？为什么取或为小矩形的高，取介于与之间的正数作矩形的高时还能说明吗？等等。并且常常是不同的图形要用差异很大的方法计算。有没有一般的方法呢？人们继续探索，到17世纪中叶牛顿莱布尼兹时代时，人们才认识到求积与求导的互逆关系，问题的解决才得到了一些进展。比如用表示轴、抛物线及直线所围曲边三角形面积，则可以很直观看出，但还没有产生面积的一般概念和求面积的一般方法及定积分的严格定义。直到19世纪20年代，法国数学家柯西引入了极限概念，才从根本上澄清了诸如“无穷多个无穷小量之和”之类的混乱概念，采用“分割，求近似，取极限”的统一方法求曲边梯形的面积，从而产生了定积分的初步概念，但仅仅对连续函数或柯西认为的连续曲线才有意义。19世纪30年代，一般的函数概念才完全形成，从而为德国数学家黎曼定义一般的定积分概念创造了条件。随后法国数学家达布对定积分内容进行了深入仔细研究，形成了达布和等等概念，为研究面积和定积分的存在性打下了基础。法国数学家勒贝格进一步改进了面积和定积分概念，形成了勒贝格测度和勒贝格积分概念，大大扩展了定积分内容，使之具有更高的适用性和完备性，为近现代分析数学发展奠定了基础。从定积分的发展历史可以看出，一个重要数学概念的形成，往往要经过数代数学家的努力。

下面就可以对学生具体讲述黎曼积分及达布和的主要想法了。

先讲一个具体例子：求曲边梯形面积，然后从中抽象出定积分概念。设函数在区间上连续非负，求由曲线、轴、直线及直线所围曲边梯形面积。具体方法如下：第一步分割：在中任意插入分点，满足，将分成个小区间（），记为第个小区间长度，用直线将曲边梯形分成个窄曲边梯形，相应的也被分成部分，，其中表示第个窄曲边梯形面积。第二步求近似：，用以为在此处键入公式。宽、为高的矩形面积作为的近似值，即，每个窄曲边梯形均如此求近似值，相加，则有。第三步取极限：从直观上看，每个的长度越小，近似程度越好，因此若对无限细分，则可以认为近似值会无限接近曲边梯形面积的真正值，即认为=，其中。这种形式的极限还常常在其他一些数学和物理问题中出现，这样把它抽象出来就形成了定积分的一般定义，只需要将函数在区间上连续非负改为在区间上有定义即可。由此得到如下定积分定义：设函数在闭区间上有定义，为常数，若，，使得对的任何分划，任意的插点组，只要，就有成立，则稱为函数在区间上的定积分。从这个定义可以看出，已经去掉了对函数连续性的要求只要求函数有定义，去掉了对区间等分的要求而可以任意分割区间，去掉了只取区间端点的要求而可以在小区间上任意取值，这样作的好处在于可以使研究的问题、研究的对象、研究的方法更加一般化，不在局限于面积问题而变成一个一般的极限问题，从而更易于形成可以处理广泛问题的一般理论，充分体现了从具体问题中提取抽象概念以形成进一步处理一般问题的理论的方法。定积分定义是一个复杂的概念，为了帮助学生理解其意义，还应该向学生讲述如下内容：首先是与的关系，可以说明，但是不能说明;其次是定积分极限定义与函数极限定义的区别联系，说明当分划的模确定后，积分和是不确定的;再次，说明定积分是一个数，此数只与被积函数及积分区间有关，与表示积分变量的字母无关;再次，说明当定积分存在时，可以选取对区间的特殊分法及插点的特殊取法来具体计算定积分的值等等。

定积分定义具有高度的抽象性、广泛的适用性，充分体现了语言极端严密高度概括的特点，与函数极限定义相比更加复杂。函数极限定义中除了以外只有一个任意，而定积分定义中除了以外还具有两个任意，一个是任意给定一个分划，另一个是任意给定插点组，这两个任意使得定积分概念比函数极限概念复杂得多，是第二学期重要教学内容，可以提高学生掌握语言的能力和抽象思维能力，使学生能够进入更加复杂的分析知识中。首先在教学中为了帮助学生掌握运用定积分概念，可以通过与函数极限类比的方法。比如证明定积分的唯一性，此时可以用固定分划、固定插点组的方法。再比如证明可积函数必定有界，此时就可以用固定分划、固定插点组中除一个插点以外其他插点的方法。定积分的否定概念也是需要学生了解掌握的。比如意味着使得，都存在分划及插点组，使得且成立;而不存在意味，存在分划及插点组，使得且成立。这个说法比较复杂，如果与函数或数列极限不存在的说法类比，可以把它叙述成：存在区间的两列分划及相应插点组，使分划的模趋于0，但相应的积分和趋向于不同的实数或存在区间的一列分划及相应插点组，使分划的模趋于0，但相应的积分和无极限。然后以在上不可积为例说明上述方法，使学生充分理解定积分否定概念。

三、如何提高解题及研究能力

定积分的存在性是第二学期教学的一个难点。在教学中主要介绍达布和的内容和一些简单的证明，以使学生掌握内容主线，避免陷入繁琐细节之中。达布的主要想法是采用类似于函数极限迫敛性的方法将定积分定义中两个任意转化成一个任意就是对分划的任意从而有效简化了极限过程。具体说明如下：设函数在区间上有界（此为定积分存在必要条件），任意给定的分划，记

以上就是我们对数学分析课程教学改革的一些初步探索。

参考文献：

[1]华东师范大学数学系.数学分析.第四版.北京：高等教育出版社，2010.

[2]张筑生编著.数学分析新讲.北京：北京大学出版社，1990.

注：本文受中国地质大学（北京）2020年度本科教育质量提升计划建设项目资助