商不变，余数是否追随

王晓敏

[摘 要]除法的基本意义分两种，一种是包含除，一种是等分除，无论是哪一种，总存在不能整除的情况，也就是直观操作中的不够分、有剩余的现象。学生在没有学习用分数、小数表示商之前，用余数来作为整数商的后缀是必要的过渡手段，这时，商不变的定律对余数就失去了约束力。

[关键词]除法;商;余数;分数;小数

[中图分类号] G623.5[文献标识码] A[文章编号] 1007-9068（2021）02-0027-02

四年級的期终考试有一道题：

在〇中填上“>”“<”或“=”。

85÷3〇（85×3）÷（3×3）

评阅试卷后，发现学生有两种截然不同的判断。一部分学生判断左右两边的式子相等，填“=”。根据四年级所学的除法算式中商不变的性质，这里被除数和除数同时扩大3倍，因为被除数和除数的变化幅度相同，对商的作用两相抵消，所以商不变。另一部分学生则判断左边的式子小于右边的式子，填“<”，这是根据四则混合运算的基本法则，先分别计算出左右两边的得数，然后通过比较得数来判断算式的大小，结果发现，两式的商相等，但余数有差别。

到底哪个符号才是这道题的正解，左右两边式子的值究竟谁大谁小，有待进一步考证。这时，一些学生开始质疑商不变性质的权威性和可行性，他们认为商不变的性质可能只适用于能整除的算式，一旦无法整除，则不再适用。

一、一道除法算式判断题引发的讨论与思考

有教师坚称两个算式的得数有差异，因为余数不同：85÷3=28……1，而（85×3）÷（3×3）=28……3。也有教师持相反意见，坚信以上两个算式是等值等价的，因为如果采用小数表示则结果相等：85÷3=28.3;（85×3）÷（3×3）=28.3。还有教师用分数表示，结果也相等：85÷3=28[13]，（85×3）÷（3×3）=28[13]。

最后，大家达成共识：分析除法算式的结果时，不要紧盯余数不放，应和除数联系起来看问题。左边的式子除完整数部分后所剩的余数虽然是1，但这个余数表示的意义是把85个物品平均分成3份，每份是28个，还余下1个，1个即占3份的[13]。而右边的式子表示的意义是把255个物品平均分成9份，每份是28个，还余下3个，3个即占9份的[39]，而[39]=[13]，因此，这两个除法算式的结果是等价的，即无论除法算式是否存在余数，商不变的性质都是准确可靠的。

二、数据变小后用直观操作法来揭示真相

新问题又来了，四年级学生尚未学习用小数或分数表示商，以上观点就无法在学生现有的知识范围内阐述清楚。

我们不妨将原题中的数值改小：

5÷2〇（5×3）÷（2×3）

再把问题放到具体生活情境中来分析。左边的式子：有5块巧克力要平均分给2名小伙伴，每人分到2块巧克力，还余下1块。右边的式子：现在巧克力的数量和分巧克力的人数都扩大到原来的3倍，即15块巧克力平均分给6名小伙伴，每人分到2块巧克力，还余下3块。这时来看，每名小伙伴到手的巧克力数相等，都是2块，对应到除法算式里，就是商相等的情况。但是，剩下的无法平均分配的巧克力数则不相等，对应到除法算式里，就是余数不相等的情况。

如果将巧克力切开，不断继续分配下去的话，会是怎样的一幅景象呢？

图1表示的是左边的式子，将剩余的1块巧克力再分成二等份，每人分到半块巧克力，与之前分到的2块巧克力合起来，最终每人分到两块巧克力加半块巧克力。

图2表示的是右边的式子，将剩余的3块巧克力分别二等分，再平均分给6人，每人分到半块巧克力，与之前分到的2块巧克力合起来，最终每人也分到两块巧克力加半块巧克力。这样一来，最终分配结果一目了然，两种分法虽然余数不一样，但因为除数也不一样，所以继续分配下去，每人最终分到的巧克力是相等的。因此，判断两个除法算式的结果是否等价，不能片面地仅从余数判断，还应综合考虑除数的变化。

三、深入查清这道题背后隐藏的除法意义

回到主题，这么简单的问题，为何会引发一番大讨论呢？又为什么会出现两种截然不同的观点呢？究其原因，四年级学生所知有限，在有余数的除法算式中，表面上相等的商其实只代表真实商的整数部分，真实商的另一部分——小数部分，以余数的形式变成了整数商的后缀。这种用整数商和余数联合的形式表示不能整除的除法算式的计算结果只是一种权宜之计，是学生在学习用小数和分数表示商之前的过渡手段。如果商的完整性被忽略，单独比较余数大小是没有意义的，因为余数与除数有关，余数应该平均分配给除数，所以应将余数和除数结合起来看才客观、全面。

85÷3〇（85×3）÷（3×3）这道题对于四年级学生来说，是否超纲有待商榷。有观点认为，四年级学生尚未学习用小数或分数表示商，言下之意是按照小数商和分数商的方法来判断两式商的大小不可行。显然，四年级学生遇到两个自然数无法整除时，只能用一个整数商和一个余数联合表示计算结果，这时，学生发现85÷3与（85×3）÷（3×3）的余数不一样，为什么？因为85÷3按照包含除来理解，从85块巧克力里每次取3块装一盒，装了28盒后，还剩1块不够装一盒，只够[13]盒;而（85×3）÷（3×3）则要9块装一盒，装了28盒后，还剩3块不够装一盒，只够[13]盒。前后对比，虽然后面剩下的巧克力多了（变成3块），但是包装的容量也大了（变成9块），同样只够[13]盒。这种表达的不同需要借助分数概念来讨论，即“除以3余1”与“除以9余3”是否等价？这必然涉及分数意义，而学生未曾学过，故通过分数来判断二者大小是强人所难。当然，若坚持认为“被除数与除数同时扩大相同的倍数，商不变”，那此题就轻松解决了。但是若有学生钻牛角尖，偏要像某些教师那样较真，以余数结果说话，那就肯定会遇到“超纲”的尴尬。

命题者出这道题有可能是要试探学生对定律的认可度，是否“无条件服从”。虽然这道题放在四年级考察有欠考虑，但是也不失为一个重要的，能引起学生深入钻研的教学资源。

（责编 李琪琦）