电磁感应图象基本问题剖析

◇ 河北 王 刚 饶细宝

物理图象是数形结合的产物,能够形象地表述物理规律,简洁地揭示相关物理量之间的关系及变化趋势,同时把抽象的物理规律转化成直观的图形.运用物理图象解决物理问题是一种重要的科学思维方法,能有效提高学生的信息加工能力和模型建构能力.因此,对图象的考查成为高考的热点.近年高考中涉及电磁感应图象的问题通常围绕求通过导线横截面的电荷量和对线框的运动分析两方面展开.学生解题的主要障碍集中在以下方面:

1)磁场区域的边界形状、线框形状变化多样,给分析带来困难;

2)线框切割磁感线的“有效长度”选取不准确,关键位置分析不出来;

3)题目条件的不确定性导致线框运动存在几种可能的情况,学生很难完整识别,难以找到解题的突破口;

4)右手定则与左手定则在使用过程中混淆.

本文以典型高考试题为例,寻求解决电磁感应图象问题的一般方法,旨在提高运用相关物理知识解决此类问题的关键能力.

1 求解通过导线横截面的电荷量

金属线圈穿越有界磁场,开始磁通量为零,最后磁通量也为零,磁通量变化量为零.根据可知,穿越全过程感应电荷量为零,即正向和反向流过的电荷量相等,所以电流随时间变化的图象(I-t)与t轴围成图形的面积应该上下相等.

例1(2011年海南卷)如图1所示,EOF和E′O′F′为空间一匀强磁场的边界,其中EO∥E′O′,OF∥O′F′,且EO⊥OF;OO′为∠EOF的角平分线,OO′间的距离为l;磁场方向垂直于纸面向里.一边长为l的正方形导线框沿O′O方向匀速通过磁场,t＝0时刻恰好位于图示位置.规定导线框中感应电流沿逆时针方向时为正,则感应电流i与时间t的关系图线可能正确的是( ).

图1

【常规解析】从图示位置到左边框运动至O′点,感应电流均匀增大,为正;左边框再运动至OO′中点过程,感应电流为正,不变;左边框由OO′中点再运动至O点过程中感应电流先减小后反向增大;以后右边框再运动至OO′中点过程,感应电流为负,不变;右边框再运动至O点过程中感应电流减小,选项B正确.

【秒杀法】全过程磁通量变化量为零,通过导线横截面的电荷量为零,排除选项A、C;根据右手定则,排除选项D,则选项B正确.

例2(2018年全国卷Ⅱ)如图2,在同一水平面内有两根平行长导轨,导轨间存在依次相邻的矩形匀强磁场区域,区域宽度均为l,磁感应强度大小相等、方向交替向上向下.一边长为的正方形金属线框在导轨上向左匀速运动.线框中感应电流i随时间t变化的正确图线可能是( ).

图2

【常规解析】在线框运动过程中,两边的导体棒切割磁感线,会产生感应电动势.由法拉第电磁感应定律知,两导体棒上产生的感应电动势大小相同.在运动过程中会出现两根导体棒都在切割相同方向的磁感线,故会出现电流为0的一段过程,选项A、B错误;而且运动过程中导体棒中电流会反向,选项C错误,选项D正确.

【秒杀法】经过较长一段时间,线框回到与初始磁场分布相同的位置,全过程磁通量变化为零,通过导线横截面的电荷量为零,排除选项C;根据E＝BLv,排除选项A;同时有部分过程磁通量不变,电流为零,排除选项B;则选项D正确.

例3(2019年全国卷Ⅱ)如图3所示,两条光滑平行金属导轨固定,所在平面与水平面夹角为θ,导轨电阻忽略不计.虚线ab、cd均与导轨垂直,在ab与cd之间的区域存在垂直于导轨所在平面的匀强磁场.将两根相同的导体棒PQ、MN先后自导轨上同一位置由静止释放,二者始终与导轨垂直且接触良好.已知PQ进入磁场时加速度恰好为零.从PQ进入磁场开始计时,到MN离开磁场区域为止,流过PQ的电流随时间变化的图象可能正确的是( ).

图3

【常规解析】PQ刚进入磁场时,加速度为零,匀速运动,电流恒定.讨论下面情况:

①若PQ出磁场时MN仍然没有进入磁场,则PQ出磁场后至MN进入磁场的这段时间,由于回路磁通量不变,无感应电流.由题意知,PQ、MN由同一位置释放,故MN进入磁场时与PQ进入磁场时的速度相同,电流大小也应该相同,选项A正确,选项B错误.

② 若PQ出磁场前MN已经进入磁场,由于两导体棒速度相等,则回路磁通量不变,即两导体棒产生的电动势等大、反向,电流为零.两导体棒在重力作用下均加速,直至PQ离开磁场.PQ出磁场后,MN为电源,由于MN之前做加速运动,电流比PQ进入磁场时电流大,所以MN减速,电流减小.则选项D正确,选项C错误.

【秒杀法】对于PQMN回路初末状态磁通量均为零,则通过PQ的总电荷量为零,排除选项B、C.选项A、D正确.

2 线框的运动分析

磁场中线框切割磁感线,产生感应电流,受到安培力作用,且安培力大小与速度相关.线框的常见运动有两种:匀速直线运动和变加速直线运动.解决此类问题的关键是做好线框的受力分析和运动情况分析.

例4(2013年福建卷)如图4所示,矩形闭合线框在匀强磁场上方,由不同高度静止释放,用t1、t2分别表示线框ab边和cd边刚进入磁场的时刻.线框下落过程形状不变,ab边始终保持与磁场水平边界OO′平行,线框平面与磁场方向垂直.设OO′下方磁场区域足够大,不计空气影响,则下列哪一个图象不可能反映线框下落过程中速度v随时间t变化的规律( ).

图4

解析

0～t1时间内,矩形线框向下做自由落体运动,速度均匀增大;无论哪种情况,cd边进入磁场之后,线圈不再受安培力作用,还是要以加速度g向下加速.

①ab边刚进入磁场时,若线框受到的安培力大于重力,线框减速运动,安培力减小,故线框做加速度减小的减速运动,选项A错误,选项B正确.

②ab边刚进入磁场时,若线框受到的安培力小于重力,线框加速运动,安培力增大,线框做加速度减小的加速运动.若安培力一直小于重力,线框将一直加速至cd边进入磁场,选项C正确.

③ab边刚进入磁场时,若线框受到的安培力等于重力,线框做匀速直线运动,选项D正确.

【运动分析】线框进入磁场,运动过程可能有匀速直线运动和变加速直线运动,并且加速度逐渐变小.由于选项A图象中的加速度变大,可知选项A错误.

例5(2013年新课标卷Ⅱ)如图5所示,在光滑水平桌面上有一边长为L、电阻为R的正方形导线框;在导线框右侧有一宽度为d(d＞L)的条形匀强磁场区域,磁场的边界与导线框的一边平行,磁场方向竖直向下.导线框以某一初速度向右运动,t＝0时导线框的右边恰与磁场的左边界重合,随后导线框进入并通过磁场区域.下列v-t图象可能正确描述上述过程的是( ).

图5

解析

导线框进入和离开磁场过程中,回路中产生感应电流,导线框受到安培力而做减速运动,加速度大小随速度的减小而减小,选项A、B错误;由于d＞L,导线框有一段时间全部在磁场中运动,没有感应电流且不受安培力,加速度为0,选项C错误,选项D正确.

【运动分析】导线框进入和离开磁场的过程中,合力即为安培力,导线框做加速度逐渐变小的减速直线运动,可知选项D正确.

图6

例6(2019年全国卷Ⅲ)如图6所示,方向竖直向下的匀强磁场中有两根位于同一水平面内的足够长的平行金属导轨,两相同的光滑导体棒ab、cd静止在导轨上.t＝0时,棒ab以初速度v0向右滑动.运动过程中,ab、cd始终与导轨垂直并接触良好,二者速度分别用v1、v2表示,回路中的电流用I表示.下列图象可能正确的是( ).

解析

ab棒向右运动,切割磁感线产生感应电流,则受到向左的安培力,从而向右做减速运动;金属棒cd受向右的安培力作用而做加速运动,随着两棒速度差的减小,安培力减小,加速度减小,当两棒速度相等时,感应电流为零,最终两棒共速,一起做匀速运动,故最终电路中电流为0,故选项A、C正确,选项B、D错误.

【运动分析】导体棒ab、cd在安培力作用下做变加速直线运动,加速度减小,则选项A正确;二者最终共速,电流为零,可知选项D错误,选项C正确.

通过上述对电磁感应中i-t图象和v-t图象的讨论,可以看到高考试题注重考查信息加工能力和模型建构能力.电磁感应图象类题目通常涉及运动学、动力学、恒定电流、电磁感应等物理观念的综合应用,高考常以选择题的形式命题.电磁感应图象类型丰富,除了上述i-t图象、v-t图象,还有B-t图象、Φ-t图象、E-t图象及E-x图象和i-x图象(其中x表示线框的位移).解决问题需要的必备知识有左手定则、安培定则、右手定则、楞次定律、法拉第电磁感应定律、闭合电路欧姆定律、牛顿运动定律、函数图象等.明晰初始条件、正负方向的对应变化范围、所研究物理量的函数表达式、进出磁场的转折点等是解决此类问题的关键.

解题的一般步骤是:1)明确图象的种类;2)分析产生电磁感应现象的具体过程;3)用右手定则或楞次定律确定电流方向;4)综合运用法拉第电磁感应定律、欧姆定律、牛顿运动定律等知识写出函数关系式;5)对函数关系式进行数学分析,如分析斜率的变化、截距等;6)画图象或判断图象.

高中物理教学应当加强图象问题教学,提高学生获取信息、整理信息、加工信息的能力,并通过模型建构、科学推理、科学论证等着力提升学生的科学思维水平,引导学生形成适应终身发展和时代要求的关键能力.