促进优化思想生长的教学策略

姚辛酉

解决问题能力的培养是义务教育阶段数学课程的重要目标之一。有些问题的解决会出现多种策略，通过猜想、验证等找出最合理、最省时、最优的策略就是优化。在这个过程中形成的思考路径、操作方法、解题策略就是优化思想的体现。教师应注重引领学生经历优化的过程，感受优化思想的价值。

一、生长源于对问题本质的理解

在解决问题前，教师首先要引导学生认真读题，找出题目所给的条件和要求的问题，在此基础上仔细挖掘，找出问题的本质。这一过程是优化思想的生长之源。

在学习“田忌赛马”时，笔者首先引导学生对已知条件进行梳理，得出初步结论——所有条件都对田忌不利。由于对阵方案较多，笔者让学生采用列表法，将所有方案一一列举出来（如下表），再进行具体分析。

观察表格，我们可以发现：田忌和齐威王赛马，在齐威王对阵方式不变的情况下，田忌有6种应对方式。在这6种方式中，只有1种能够获胜。因此，解决“田忌赛马”问题的关键，就是把所有可能性逐一列举出来，并从中找出唯一的获胜策略。

二、生长源于对问题的深度思考

学过“田忌赛马”这节课，学生应该获得如下经验：遇到一个问题首先应该从总体上进行把握，列举出各种可能性，选出最优的一种，再从中找出具体的解决方案。这一过程是优化思想的生长之根。

通常，学生对“田忌赛马”问题的认知都会经历“不可能赢—有可能赢—思考为什么可能赢”的过程。初读问题，学生按照常规的对阵策略思考，会认为由于田忌每一档次的马都比齐威王的差一些，三局一定都会失败，田忌获得胜利的可能性几乎为零。这是学生经历的第一个认知阶段。随后，笔者引导学生继续思考：“像刚才那样，分别安排上等马、中等马、下等马对阵，就叫作策略。很明显，解决这个问题不止一种策略，大家可以试一试其他策略。”学生思考后回答：“用田忌的下等马对阵齐威王的上等马，用田忌的上等马对阵齐威王的中等马，用田忌的中等马对阵齐威王的下等马。”笔者追问：“这样的对阵策略有什么好处？”学生回答：“这样对阵，虽然第一局会输，但是后面两局会赢。”学生经历了调整对阵顺序的过程，思维进一步发散。以上是学生经历的第二个认知阶段。为了让学生明确田忌可能获胜的原因，笔者引导学生观察上文提到的表格中6种策略的比分情况，并说一说有什么发现。一名学生说：“要想获得胜利，比分只能是2∶1。”另一名学生说：“想要以3∶0的比分获胜是不可能的。”笔者追问为什么不可能取得3∶0的比分。学生回答：“因为田忌每一档次的马都比齐威王的要差一些，田忌派什么马都比不过齐威王的上等马，因此这一局只能输。”还有的学生回答：“因为第一局输了，后两局就必须要赢，总比分才能是2∶1，而田忌用上等马对阵齐威王的中等马、用中等马对阵齐威王的下等马就可能获胜两局。”这样教学，使学生建立起从总体到局部的思考路径。这是学生经历的第三个认知阶段。

三、生长源于对问题的类比与延伸

“田忌赛马”问题不仅仅是赛马问题，本质上是融会了众多策略的博弈问题。在这些问题中，有的要从条件入手分析，找出最优方案;有的无法从条件入手，只能根据问题进行倒推;还有的必须跳出题目从整体上进行思考。基于此，笔者设计了不同类型的练习，引导学生在解决问题的过程中提升优化思维。

教材课后习题设置了两人玩扑克牌比大小的游戏。红色的一组扑克牌牌面数字分别是5、7、9，黑色的一组扑克牌牌面数字分别是3、6、8，两人各持一组牌，每人每次出一张牌，各出3次，赢2次者胜。问题是持黑色扑克牌的人是否有可能获胜。学生在解答这道题时，很容易与“田忌赛马”问题产生类比，通过迁移得到：红色扑克牌“9”相當于齐威王的上等马，“7”相当于中等马，“5”相当于下等马;黑色扑克牌“8”相当于田忌的上等马，“6”相当于中等马，“3”相当于下等马。如果按相同档次的牌面数字对阵，持黑色扑克牌者一定会输。由此得出，当对方出“9”的时候，自己应出“3”;对方出“7”的时候，自己出“8”;对方出“5”的时候，自己出“6”，这样可以获得两胜一负，取得最终胜利。此题是对所学内容的基本练习。

在此基础上，笔者拓展题目类型，出示如下练习：“100根粉笔，两人轮流取，每人每次最少取1根、最多取10根，谁能取到最后剩下的粉笔，谁就是胜者。问：先取者为了战胜对手，第一次应取几根粉笔？”解决此题的关键是抓住“最多取10根”，先取者只要到最后一次给后取者剩下11根，无论后取者取多少根，最后的赢家一定是先取者。因此，先取者第一次取后留下的根数是11的倍数即可。所以先取者为了战胜后取者，第一次应取1根粉笔。这一题虽然还是对阵问题，但与“田忌赛马”问题有较大区别。“田忌赛马”中，齐威王的对阵策略是固定的，因此只需要针对一种情况来制订应对策略，而本题由于对阵时对方有多种策略，而应对的办法各有不同，因此无法从条件入手分析，只能从结果入手分析。

笔者再出示不同类型的题目：有25个人在一起围成一个圆圈，从某人开始，按1、2、3……的顺序报数，第一次去掉报奇数的人，去掉之后再次报数，再去掉报奇数的人，如此反复下去，最后剩下的人是原来的几号？笔者引导学生画图分析，这道题第一次去掉的是报奇数的人，剩下的都是报偶数的人;第二次去掉的是原来报的数里面只含有一个因数2的人;第三次去掉的是原来报的数里只含有两个因数2的人……按照这样的规律，哪一个数中含有的因数2最多，那一个数就是最后剩下的人的序号。25以内含有因数2最多的数为16，所以剩下的人就是原来报的数为“16”的人。

四、生长源于对问题的一般归纳

结课时，笔者引导学生回顾研究问题的过程，并提问学生“有什么收获”。学生反馈：“调换马匹的出赛顺序可以获得胜利”“取粉笔的题目告诉我们，可以从结果进行思考”“可以用画图的方法来解决比较难的问题”。笔者将其总结为“调换顺序”“逆向思考”“画图解题”等思考策略。

整节课的教学，教师注重引导学生经历知识建构的完整过程，让学生在挖掘问题本质的基础上进行深度思考，得出初步结论，之后通过发散练习，获得进一步的提升，最终总结出解决这一类问题的方法，形成优化的数学思想，促进了学生思维能力的整体提升。

（作者单位：孝感市实验小学）