静定结构受力分析中约束力换算公式与二力杆的妙用1)

汪 珍 舒开鸥

(九江学院建筑工程与规划学院，江西九江332005)

在力学教学中，静定结构的受力分析这一内容由于较为简单而通常忽视了计算的简化与分析方法的研究。静定结构的受力特征是，未知力 (约束力)的个数等于独立平衡方程的个数，即仅通过平衡方程就能求解所有未知力，因此在教学时，教师往往重点在于教学生列出足够的平衡方程，而忽视了对这些平衡方程求解的难易程度分析。当未知力较多时，最理想的情形是一个方程求解一个未知力，这样就能避免联立方程解方程组的麻烦。相关文献[1-2]已经指出，对于满足两刚片规则或三刚片规则的简单静定结构，用平衡方程进行受力分析时，必可做到一个方程解一个未知力。本文将对这一结论做出简单证明，并在此基础上进一步提出能简化计算的二力杆转化思路及约束力换算公式。

1 平衡方程与几何组成的关系

对于按两刚片规则构成的静定结构，由于连接两刚片的三根链杆既不相互平行也不汇交，因此将这三根链杆截断，取其中一刚片研究，即可逐一求出三链杆的受力(刚片的约束力)。

对于按三刚片规则构成的静定结构，三刚片若用三个虚铰 (实铰的情形比虚铰要简单，故不再证明)两两连接，如图1。求各链杆受力时，可以做到一个方程解一个未知力，证明过程如下。

图1

为求出各链杆的受力，可先把链杆1～4截开，取刚片 I和 II组成的整体 (以下简称整体)，先将四个未知力分别向两虚铰A和B滑移，再向AB(x)方向与垂直AB(y)方向分解，如图 2，由∑MB=0⇒FAy；再取刚片I，如图3，这是一个含有三个既不相互平行又不汇交的未知力FAx、F5和F6的平面一般力系，可做到列一个方程解一个未知力；最后回到整体，只剩下FBx和FBy，显然可逐一解出。若杆3与杆4平行，可将与F3垂直方向设为x方向，由 ∑Fx=0⇒FAx；若杆5与杆 6平行，在求出FAy(或FAx)后，研究刚片I，仍然是一个含有三个既不相互平行又不汇交的未知力FAx(或FAy)、F5和F6的平面一般力系。综上所述，满足三刚片规则的静定结构，各链杆的受力计算可做到一个平衡方程解一个未知力。

图2

图3

在一个平衡方程解一个未知力的原则下，求简单静定结构的约束反力时，需要注意以下问题：(1)选取刚片I和II组成的整体研究与选取刚片III研究是等效的，同理选取刚片I研究与选取刚片II和III组成的整体研究也是等效的，视计算的难易程度灵活选取研究对象，但地面及含地面的整体不作为研究对象；(2)若连接刚片的链杆在两结点以外部分上承受外力，可将外力向两结点平移，并将附加力偶转化为作用在结点上的一对等值反向的平行力，则链杆变为二力杆，具体做法见例1。

例1求图4静定结构中AB杆的约束反力。

解：(1)结构满足两刚片规则，AB杆与地面是两刚片，其余三根链杆是联系(约束)，将作用在三根链杆上的外力向端点平移，并将附加力偶转化为一对作用于两端点的等值反向的平行力，如图5。

图4

图5

(2)研究AB杆，如图6，易得三根链杆给其的约束反力，不再赘述。

图6

2 约束力换算公式与二力杆的转化

2.1 约束力换算公式

在图2中，逐一求出的约束力FAx和FAy并不是各链杆1和2的轴力，为能方便地求出链杆的轴力，可采用约束力换算公式。如图7，组成虚铰A的链杆1和2的轴力F1和F2，与它们在虚铰A处分别沿x和y方向的分量之和FAx及FAy，可用以下公式换算

图7

例2求图8静定桁架中各杆的轴力。

图8

解：(1)BD杆与地面由链杆AD与支座链杆B组成的虚铰连接，刚片CEG与地面由链杆AE与支座链杆C组成虚铰连接，BD杆与刚片CEG由链杆DE与链杆BG组成虚铰连接，三个虚铰不共线，故为静定桁架。

(2)研究BD杆与刚片CEG组成的整体，如图9。将FAD和FB向虚铰O滑移并沿x(OC)和y方向分解后叠加得FOx和FOy，同理将FAE和FC转化为FCx和FCy

图9

(3)研究BD杆，如图10

再由整体

图10

(4)由约束力换算公式(1)可得链杆AD和AE的轴力及支座B和C的反力

其余各杆的轴力利用结点法很容易逐一求出。

2.2 二力杆的转化思路

若某刚片用两铰(或虚铰)与其他刚片连接，则此刚片可视为端点在两铰处的链杆(或虚链杆[3])，如图2中的刚片Ⅰ。此时若该刚片上除两铰处的其他部分不受力，则可将其视作二力杆，如图 11，刚片Ⅰ在虚铰A处的约束力可合成为一个沿AC连线的力FAC，于是刚片Ⅰ和Ⅱ组成的整体仅有三个未知力FAC，F3及F4，可逐一求出F3和F4，再回到将刚片Ⅰ转化为二力杆之前的受力图，便可逐一求出F1和F2；若刚片I上除两铰处的其他部分受力，可参照例1先把这些力向两铰A和C处转化，则刚片I变为二力杆。

图11

例3求图12静定桁架中各杆的轴力[4-5]。

解：(1)刚片ADJI与CGJE用铰J连接，刚片ADJI与地面用交于O点(虚铰)的链杆BI和支座链杆A连接，刚片CGJE与地面用交于K点(虚铰)的链杆BE和支座链杆C连接，点J，O和K不共线，满足三刚片规则。

图12

(2)截开链杆BI，BE取上部研究，作受力图如图13。

图13

将刚片ADJI上作用于H点的力F向虚铰O及铰J转化，把该刚片变为二力杆，则过O点各力可合成为力FOJ，如图 14，列平衡方程求FBE和FC

再由图13，列平衡方程计算FBI和FA

其余各杆的轴力利用结点法很容易逐一求出。例 2也可用此法计算，读者可自行尝试。

图14

3 结语

本文对 “满足两刚片规则或三刚片规则的静定结构的受力分析，必可做到一个方程解一个未知力”这一结论做出了简明证明，并给出了利用这一结论进行受力分析的计算思路与注意要点。在此基础上提出了方便计算链杆轴力的约束力换算公式及刚片转化为二力杆的方法，使得静定结构的受力分析得到进一步简化。基于本文的研究成果，在结构力学教学甚至是理论力学教学中对于静定结构或静定问题，应提倡力争做到一个平衡方程解一个未知力，其目的不仅是简化计算，还能使学生更好掌握平衡方程及其应用技巧、更深刻认识结构几何组成分析的意义及作用，从而达到夯实学生力学基础、锻炼学生思维能力等教学目标。