*《小问题》2020-3解答*

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2020-4如图 1所示，三根质量均为m、长均为l的匀质细杆铰接后成一直线静止于光滑水平面上，今在AB杆的质心G处作用一垂直于杆的水平冲量I。试用冲击问题的拉格朗日方程，(1)证明冲击后AB杆、BC杆、CD杆的初始角速度之比为4:3:-1；(2)求冲击后系统的动能。(供稿：张孝祖，江苏大学)

图1

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问题：如图1所示，质量为M的方块以速度U与静止的质量为m的方块相撞。然后质量为m的方块与侧壁相撞，等等。整个过程完全弹性。求证：当M/m≫1时，总碰撞次数N与圆周率π之间有渐近关系式

(当M/m=102k(k=1，2，···)时，计算表明，N就是π之小数点向后移k位所得之整数。)(问题及以下答案供稿：岳曾元)

图1 初始状态

证明：

将M与m的速度分别记为V1和V2。整个过程完全弹性，总动能守恒，故有

令

得到用上标′和′′表示碰撞前和碰撞后的量。对于m与M之间的碰撞，总动量在碰撞前后不变

其无量纲形式为

对于m与侧壁之间的碰撞，有

即

图 2显示了M/m=100时的整个碰撞过程。(ξ，η)从初始状态(-1，0)开始，依次轮流进行m与M之间和m与侧壁之间的碰撞。每条斜线的上端和下端分别代表m与M之间碰撞的碰撞前和碰撞后状态，每条铅直线的下端和上端分别代表m与侧壁之间碰撞的碰撞前和碰撞后状态。所有斜线具有共同的斜率。斜线与铅直线所夹锐角

在M/m→∞(ε→0)过程中，θ越来越小，铅直线越来越密 (参见图 3，其中M/m=10000)，相邻铅直线间的距离δ有渐近式

图2

图3

当δ充分小，在满足

的Δξ中包含的铅直线根数为

因此，铅直线总数为

令

得到

每根铅直线代表两次碰撞。因此，碰撞总数为

特别，当M/m=102k(k=1，2，···)时，计算表明，N就是圆周率 π之小数点向后移k位所得之整数。