一类与函数零点个数有关问题的统一解法

2021-01-08广东省佛山市南海区狮山石门高级中学528225徐正印白庆全

中学数学研究(广东) 2020年23期

广东省佛山市南海区狮山石门高级中学(528225) 徐正印白庆全

确定(讨论)含有参数的函数零点的个数或根据含有参数的函数零点的个数确定(求)参数取值范围的问题通常涉及到函数的单调性、最值等性质, 融合了数形结合、分离参数、等价转化等数学思想方法,具有综合性强、形式灵活、思维严密等特点,能较好地反映学生分析问题和解决问题的能力,备受高考命题者的青睐,在近年的新课标卷中持续出现.

由于“根据含有参数的函数零点的个数确定(求)参数取值范围”可以看作是“确定(讨论)含有参数的函数零点的个数”的逆运算,因此前者的本质与后者是一样,他们可以看成是一类问题.

文[1]在延续了高考试题提供的解题思路的情况下,重点介绍了在使用零点存在定理时如何取“特殊点”,但这要具备较强的观察能力,大部分考生(如笔者所面对的学生)不容易掌握其要领.

文[2]介绍了多种方法,同样涉及“取点问题”,也需要较强的观察能力.为此,笔者借助近年高考试题,对这类问题再次分析,以便读者(考生)掌握其解题要领.

这类题目分两种情况:

情况一可以分离参数,即利用含有参数(参数通常用a表示)的函数值等于零分离出参数,把函数零点的个数问题转为一个不含参数的函数与一条与y轴垂直的动直线(通常为y=a)交点个数的问题,利用这两个函数的图象的交点的个数来确定(证明或讨论)函数的零点的个数或确定(求)参数的取值范围.如:

例1(2015年高考新课标Ⅰ卷文科)已知函数f(x)=e2x-alnx.

(Ⅰ)讨论f(x)的导函数f′(x)的零点的个数;(Ⅱ)略.

例2(2018年高考新课标Ⅰ卷理科)已知函数f(x)=g(x)=f(x)+x+a,若g(x)存在2 个零点,则a的取值范围是

A.[-1,0) B.[0,+∞) C.[-1,+∞) D.[1,+∞)

例3(2018年高考新课标Ⅱ卷文科)函数f(x)=-a(x2+x+1).

(Ⅰ)略;(Ⅱ)证明:f(x)只有一个零点.

限于篇幅,仅以例1 为例说明.

分析 (Ⅰ)f′(x)= 2e2x-(x ＞0),f′(x)的零点的个数⇔方程2e2x-=0 正根的个数⇔2xe2x-a=0 正根的个数⇔y= 2xe2x(x ＞0)的图象与y=a的图象交点的个数.

设g(x)= 2xe2x(x ＞0), 则g′(x)= 2(1+2x)e2x, 在(0,+∞)上,g′(x)＞0,g(x)单调递增.

g(x)= 2xe2x ＞0, 当x →0+时,g(x)→0;当x →+∞时,g(x)→+∞;函数y=2xe2x(x ＞0)的大致图象如图1.

图1

当a≤0 时,y= 2xe2x(x ＞0)图象与直线y=a没有交点;当a ＞0 时,y=2xe2x(x ＞0)图象与直线y=a的图象有且只有一个交点.综上,当a≤0 时,f′(x)没有零点;当a ＞0 时,有唯一的零点.

评注为了画出y=g(x)的大致图象(主要体现函数的单调性和趋向),需要先研究y=g(x)的单调性,再研究y=g(x)图象的趋势.

这种方法的优势在于不需要找零点所在区间的端点.

例4(2016年高考新课标Ⅰ卷文科)函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2.

(Ⅰ)略;(Ⅱ)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.

例5(2018年高考新课标Ⅱ卷理科)已知函数f(x)=ex-ax2.

(Ⅰ)略;(Ⅱ)若f(x)在(0,+∞)上只有一个零点,求a.

例6(2020年高考新课标Ⅰ卷文科)已知函数f(x)=ex-a(x+2).

(Ⅰ)略;(Ⅱ)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.

限于篇幅,仅以例4 为例说明.

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分析(Ⅱ)f(x)有两个零点⇔(x-2)ex+a(x-1)2=0 有两个实根⇔(x-2)ex+a(x-1)2=0 有两个都不等于1 的实根⇔y=(x ̸=1)的图象与y=a的图象有两个不同的交点.