对一道高考不等式证明题的探究

湖南省怀化市湖天中学(418000) 宋林洁

湖南省会同县第一中学(418300) 于先金

一、高考真题,简洁优美

2020年高考全国Ⅲ卷文、理第23 题:设a,b,c ∈R,a+b+c=0,abc=1.

(1)证明:ab+bc+ca ＜0;

(2)用max{a,b,c}表 示a,b,c的最大值,证明:max{a,b,c}≥

这道试题简洁、对称、新颖、优美,难度不大,主要考查不等式的证明及基本不等式的应用,考查的核心素养是逻辑推理和数学运算,值得我们去思考和探究.

二、参考答案,通性通法

证明(1)由题设可知a,b,c均不为零,所以

(2)不失一般性,不妨设a≥b≥c,所以max{a,b,c}=a, 因为abc= 1,a=-(b+c), 所以a ＞0,b ＜0,c ＜0.由bc≤可得abc≤故a≥所以max{a,b,c}≥

三、证法探究,数学好玩

1.第(1)问的证法探究

由已知条件a+b+c=0 与待证结论ab+bc+ca ＜0,易想到代入消元.

证法1(代入消元,分而治之)

由a+b+c=0 得a+c=-b,所以ab+bc=b(a+c)=-b2.同理可得bc+ca=-c2,ab+ca=-a2.以上三个不等式相加并整理得ab+bc+ca=(a2+b2+c2)＜0.

由已知条件a+b+c=0 与待证结论ab+bc+ca ＜0,易想到不等式a2+b2+c2≥ab+bc+ca.

证法2(结构联想,平方解决)

由已知条件a+b+c=0 与abc=1,可知a=b=c不可能.又a2+b2+c2≥ab+bc+ca,当且仅当a=b=c时等号成立, 所以a2+b2+c2＞ ab+bc+ca.所以(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)＞3(ab+bc+ca)所以ab+bc+ca ＜0.

由a+b+c、abc及ab+bc+ca的结构特征,自然联想到一元三次方程的韦达定理.

证法3(韦达定理,构造方程)

设ab+bc+ca=m,又由已知a+b+c= 0,abc= 1,可知a,b,c是方程x3-0·x2+mx-1=0 的三个根,且a,b,c中一正两负,不妨设a ＞0,b ＜0,c ＜0.当x=b(b ＜0)时,有所以ab+bc+ca ＜0.

2.第(2)问的证法探究

不失一般性,不妨设a≥b≥c,所以max{a,b,c}=a,又a+b+c= 0,abc= 1,所以a ＞0,b ＜0,c ＜0.所以只要证明由已知条件含有和、积的结构,欲证结论又是不等式,自然联想到利用一些基本不等式.

证法1(利用均值,马到成功)

由(-b)+ (-c)≥得a≥解得易知当且仅当b=c=时等号成立.

证法2(不等放缩,同样精彩)

由a+b+c=0,得a=-(b+c),所以

a2=(b+c)2=b2+c2+2bc≥2bc+2bc=4bc=所以a3≥4,解得a≥

证法3(柯西登场,建立不等)

由a+b+c= 0, 得b+c=-a, 两边平方并整理得b2+c2=a2-2bc=a2-由柯西不等式得b2 +c2≥所以即a3≥4, 解得

由x2+y2=R2(R ＞0),可设x=Rcosθ,y=Rsinθ,于是有如下的三角换元.

证法4(三角换元,直达目的)

由证法3, 可设-b=sinθ,θ ∈所以

证法5(三角换元,拍案叫绝)

由a+b+c=0,得(-b)+(-c)=a,可设-b=acos2θ,-c=asin2θ,所以

证法6(构造方程,判别式法)

由已知条件可得b+c=-a,bc=所 以b,c是一元二次方程x2+ax+= 0 的两个根, 所以判别式解得

证法7(确定主元,构造方程)

由a+b+c=0,得b=-(a+c),代入abc=1 并整理得ac2+a2c+1=0,可视为关于c的一元二次方程,所以判别式Δ=a4-4a≥0,解得a≥

证法8(数形结合,殊途同归)

因为a ＞0,b ＜0,c ＜0, 所以双曲线与直线b+c+a=0 在直角坐标系boc的第三象限有公共点(图略),所以双曲线在第三象限的顶点在直线b+c+a= 0 上或其上方,所以解得

四、继续探究,加强结论

经探究,对(1)中的不等式ab+bc+ca ＜0,我们得到如下的加强:设a,b,c ∈R,a+b+c= 0,abc= 1.证明:ab+bc+ca≤

证法1(恒等变形,不等放缩)

不失一般性,不妨设a≥b≥c,由(2)得当且仅当b=c=时等号成立.由(1)的参考答案可得

所以ab+bc+ca≤当且仅当时等号成立.

证法2(恰当配凑,均值放缩)

因为

所以ab+bc+ca当且仅当时等号成立.

五、变式探究,精彩纷呈

变式1设a,b,c ∈R,a+b+c= 0,abc= 1.用min{a,b,c}表示a,b,c的最小值,则min{a,b,c}≤

证明(利用结论,一步到位)

不失一般性,不妨设a≥b≥c,由(2)得当且仅当b=c=时等号成立.所以-2c≥-b-c=a≥所以c≤即min{a,b,c}≤

变式2 设a,b,c ∈R,a+b+c= 0,a2+b2+c2= 1,则a,b,c ∈

变式3设a,b,c ∈R,a+b+c=m(m ＞0),a2+b2+c2=则a,b,c ∈

变式2、变式3 易证,证明略.

变式4设a,b,c ∈R,abc= 1,ab+bc+ca=则a+b+c≤0.

证明(确定范围,利用单调)

不失一般性, 不妨设a≥b≥c, 所以由已知条件易知a ＞0,b ＜0,c ＜0.设a+b+c=λ, 则由ab+bc+ca=及abc=1 可得a(b+c)+bc=即a(λ-a)+所以λ=a-(a ＞0).

求导可得λ′= 1 +＞0, 所以函数λ=a -在区间(0,+∞)上单调递增.因为(-b)+(-c)≥又a(b+c)+bc=所以

由上可知,λ≤故a+b+c≤0.

下面提出一个问题,供读者进一步探究:

问题1设a ＞0,b ＞0,c ＞0,a+b+c=m(m≥3),abc=1,你能得到一些什么样的结论?

六、一点思考

2002年, 陈省身在世界数学家大会上为少年儿童题词“数学好玩”,如何让学生在数学学习中体会到“数学好玩”,在“玩”中学好数学,这是值得我们认真思考的一个问题.

数学是美的,数学是自然的,其中的数学概念、数学方法与数学思想的起源与发展都是自然的.北京大学张筑生教授在很早就呼吁:“让解题的思路来的自然.”一些自然的解法之所以自然,是因为它透过现象抓住了问题的本质.在数学解题和数学教学中,我们应该从学生已有的知识基础和经验出发,去寻找自然的解法.

在教学中,我们不仅要教会学生如何思考问题,还要引导学生学会提出问题,为学生提供微探究的机会.