从圆的反演变换到椭圆的反演变换

2021-01-08华南师范大学附属中学510631罗碎海

中学数学研究(广东) 2020年23期

华南师范大学附属中学(510631) 罗碎海

平面几何中的反演变换是相当有趣的数学知识,它实现了圆与直线的转化.学习了椭圆后,自然想到,这种反演变换能否推广到椭圆中.

1 反演变换及其性质

1.1 反演变换定义及其几何作图

定义1在平面π上, 设O是一个定点,P,Q是射线Ox上的两点, 且满足条件OP ·OQ=r2, 我们称P与Q互为反演点,这个变换称为平面π的一个反演变换,记做I(O,r2).定点O称为反演中心(反演极),r叫做反演半径,以O为圆心、r为半径的圆叫反演基圆,r2叫反演幂.

图1

其实,OP ·OQ=r2⇔OP ·OQ=OR2(如图1).给出基圆,可作出P的反演点Q.

(1)若P在基圆⊙O上,则Q就是P.

(2)若P在基圆⊙O外, 自P向反演基圆引切线PA、PB(以OP为直径的圆与基圆⊙O交于A、B就是切点),连接切点A、B的直线与OP的交点Q为所求.

(3)若P在⊙O内,则反(2)之道以求之.

1.2 反演点的坐标关系

设P(x,y),Q(x′,y′)分别是关于反演变换I(O,r2)的一对反演点,P,Q在过O的同一射线上,所以设x′=λx,y′=λy(λ ＞0),因为|OP|=利用|OP|·|OQ|=r2,可得λ(x2+y2)=r2,所以x′=或者

这就是互为反演点P(x,y)与Q(x′,y′)的坐标之间的关系.

如图1, 我们知道[1]:若⊙O的方程为x2+y2=r2,点P在圆外且坐标为(x0,y0), 则切点连线AB的方程为x0x+y0y=r2.所以AB是点P关于圆O的极线,Q是OP与极线AB的交点.

1.3 反演变换的性质

在反演变换I(O,r2)下, 如果平面π的图形F变为图形F′,则称图形F′是图形F关于反演变换I(O,r2)的反形.反演变换的不动点称为自反点,而反演变换的不变图形则称为自反图形.

对于特殊的直线与圆,可得到其反演性质:

性质1.1反演中心不存在反演点.不共线的两对反演点共圆.

证明如图2,设O为反演中心,点A反演点为C,点B的反演点为D.由反演定义得OA·OC=OB·OD=k,故而∠AOB=∠DOC,所以ΔOAB∽ΔODC.由此得∠OAB=∠ODC,所以,点A、C、B、D共圆.证毕.

图2

图3

说明证明过程中得到的ΔOAB∽ΔODC,∠OBA=∠OCD也是常用结论.

性质1.2反演变换把通过反演中心O的任一条直线变成自身.即通过反演中心的任何直线都是该反演变换下的不变图形.(直线→直线)

这是显然的,点、其反演点、反演圆心三点共线.

性质1.3反演变换把任一条不通过反演中心O的直线变成一个通过反演中心O的一个圆,而且这个圆在点O的切线平行于该直线.(直线→圆)

证明设⊙O的方程为= 1,直线l的方程为= 1.如图3,P(x,y)为l上一点,连OP,与圆交于点R,设点P关于⊙O的反演点为Q(x′,y′).

将反演坐标关系(∗)x=代入

这个方程就是点Q的轨迹方程, 表示一个圆, 该圆过坐标系原点O(0,0), 在O点的切线方程为这条切线与直线l平行.

评述直线l:= 1 关于⊙O:= 1 的反演圆方程为相当于已知两方程中“1=1”代换.

性质1.4反演变换把任一个通过反演中心O的圆变成一个不通过反演中心O的一条直线,而且这条直线平行于该圆的过点O的切线.(圆→直线)

性质1.4 与1.3 互为逆命题.通过反演坐标关系可证明,也可通过平面几何知识证明,证明略.

性质1.5反演变换把任一个不通过反演中心O的圆变成不能过反演中心O的圆.(圆→圆)自然两圆的连心线过反演中心O.

图4

证明如图4, 设K为已给的不过反演中心O点的圆, 建立坐标系, 使O为原点,x轴过圆心K(a,0), 在圆K上的点P(x,y)满足方程(x-a)2+y2=b2或x2+y2-2ax=b2-a2(b ̸=a).

这里b是圆K的半径,设Q是P的反演点,(x′,y′)是点Q的坐标,(x′,y′)和(x,y)在过O的同一射线上.

将反演坐标x=代入圆K方程, 就得出Q(x′,y′)所满足的方程(b2-a2)(x′2+y′2)+2ar2x′=r4.

当b2-a2̸= 0 时, 可变形为x′2+y′2+=

它的轨迹确实是一个不过反演中心的圆.要将圆的反演变换推广到椭圆中,我们将椭圆看成圆经过伸缩变换而得到,先了解伸缩变换.

2 伸缩变化及其性质

2.1 伸缩变化

高中《数学》选修4-4,1.2 中有曲线的伸缩变换.

定义2设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换φ:的作用下,点P(x,y)对应到点P′(x′,y′),称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.

2.2 伸缩变换的性质

对于伸缩变换很容易得到以下性质:

同素性:在经过伸缩变换之后,点仍然是点,线仍然是线(直线变直线).

结合性:在经过伸缩变换之后,在直线上的点仍然在直线上.

具体还可得到以下不变关系:

(1)直线与圆锥曲线的位置关系不变(相切变相切,相交变相交).

(2)对应图形的面积比不变.

(3)对应直线的斜率比不变.

(4)两平行线段或共线线段的比不变(三点共线的比不变),具体如:线段的中点变换后是新线段的中点.

证明较易,略.

3 椭圆的反演变换

3.1 椭圆中的反演变换

图1 经伸缩变换变为图5 可得到椭圆中的反演变换.

图1

图5

把椭圆理解为在伸缩变换下的圆,由伸缩变化的的位置关系、线段比例不变性可自然得到椭圆的反演变换.

定义3在平面π上, 椭圆中心为O,线段OP(或延长线)与椭圆相交于点R, 在线段OP上有一点Q满足条件OP ·OQ=OR2, 我们称P与Q关于该椭圆互为反演点.(如图6)

图6

与圆的反演不同,在圆中OP ·OQ=OR2,OR2=r2是常量.在椭圆中OP ·OQ=OR2,OR2是变量.

由伸缩变换将图1 变为图5,或由圆锥曲线的极点与极线知识可知[1],给定椭圆O与不在椭圆上的一点P(如图6),过点P作椭圆两条切线,连两切点A,B,连OP,OP与AB的交点是Q.

进一步可得以下定理:

定理对于椭圆O:= 1 与椭圆外一点P(x0,y0), 若直线OP与椭圆交于S,R(R在P,Q之间),PA,PB是椭圆两切线.则

(1)两切点连线AB方程为

(2)Q是线段AB中点.

(4)=-1(调和比).

(以上PA等都是有向线段数量表示)

证明(3)如图6,即PQ·(PR+PS)=2PR·PS,即(OP-OQ)·(OR-OP+OS-OP)=2(OR - OP)·(OS - OP), 即(OP - OQ)·(-2OP)=2(OR - OP)·(-OR - OP), 即-2(OP2- OQ · OP=-2(OR2-OP2),所以OP ·OQ=OR2⇔|OP|·|OQ|=|OR|2.

证明(4)

3.2 椭圆反演变换的性质

这种反演变换有如下性质:

性质3.1不过反演中心的直线,经反演后,其反形为过反演中心的椭圆(或圆).

证明设直线方程为mx+ny= 1(m2+n2̸= 0),反演椭圆为F(x,y)= 1, 由反演变换公式得+=1,变形为mx+ny=F(x,y),(x2+y2̸=0),即-mx-ny=0.

性质3.2过反演中心的直线,经反演后,其反形为仍为过反演中心的直线.

证明设直线方程为mx+ny= 1(m2+n2̸=0), 反演椭圆为F(x,y)= 1, 由反演变换公式(∗∗)得=0,即mx+ny=0,(m2+n2̸=0).所以,结论成立.

性质3.3过反演中心的二次曲线f(x,y)= 0, 经反演后,其反形为经过反演中心三次曲线.特别地,若f(x,y)的二次项可表示为kF(x,y),则其反形为一条直线.(F(x,y)= 1为反演椭圆)

证明设反演椭圆为F(x,y)= 1, 若二次曲线为f(x,y)=Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey=0,以反演变换公式(∗∗)代入得Ax2+Bxy+Cy2+(Dx+Ey)F(x,y)=0.此为三次曲线.特别地, 若Ax2+Bxy=kF(x,y), 约去F(x,y),得Dx+Ey+k= 0.这是不过反演中心的一条直线.

性质3.4不过反演中心的二次曲线f(x,y)=0,经反演后,其反形为四次曲线.特别地,如f(x,y)= 0 的二次项可表示为kF(x,y),则其象为二次曲线.(F(x,y)=1 为反演椭圆)

证明设反演椭圆为F(x,y)= 1, 若二次曲线为f(x,y)=Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+G= 0, 以反演变换公式(∗∗)代入得Ax2+Bxy+Cy2+ (Dx+Ey)F(x,y)+G·F2(x,y)=0.一般的,此为四次曲线.特别地,若Ax2+Bxy+Cy2=kF(x,y),约去F(x,y),上式可化为二次曲线.

可得一般结论:

结论一般地, 若点P的轨迹方程为f(x,y)= 0, 则反演之后的方程为其中x2+y2̸=0.

反演变换也可以推广到双曲线中,即可推广到有心二次曲线中.