为学而教 以学定教——《钉子板上的多边形》教学设计

王 辉

【教学内容】

苏教版五年级上册第108、109 页。

【教学目标】

1.利用格点图探索并发现钉子板上围成的多边形的面积与围成的多边形边上的钉子数、多边形内部钉子数之间的关系，并尝试用字母式子表示关系。

2.经历探索钉子板上围成的多边形面积与相关钉子数之间的关系的过程，体会规律的复杂性和全面性，体会归纳思维，体会用字母表示关系的简洁性，发展观察、比较、推理、综合和抽象、概括等思维能力。

3.获得探索规律成功的体验，树立学习数学的自信心，感受数学规律的奇妙，对数学产生好奇心，提高学习数学的兴趣和积极性。

【教学重点】

利用格点图探索钉子板上多边形的面积与多边形边上的钉子数、内部钉子数之间的关系。

【教学难点】

综合、归纳多边形的面积与多边形边上钉子数、内部钉子数之间的关系。

【教学过程】

一、创设情境，引发猜想

师：同学们,知道今天要学习什么吗？

预设：钉子板上的多边形。

师：接下来就让我们进行一次愉快的探索之旅。

师：瞧！这是1 张点子图，数学上经常用它代替钉子板做研究。

师：连接点子图上的格点我们就可以在上面画出一些图形。（在点子图上依次画出5 个多边形。边画边问：这是什么图形？到长方形时问：谁的面积大？到最后一个图形问：现在几号图形的面积最大？指出：5 号图形面积最大）

师：仔细观察，你觉得点子图上多边形的面积的大小可能和什么有关系？

（学生猜想）

（引导学生发现点子图上多边形的面积的大小可能和边上的钉子数有关）

（板书：面积 边上的钉子数）

【设计意图：从已有的经验出发, 帮助学生认识到学习的起点,引发猜想，激发学习的兴趣,让课堂教学有序推进。】

二、自主合作，分层探索

1.引导尝试，初步感知。

师：同学们根据观察，提出了“猜想”，猜想正不正确，我们还要想办法验证。（出示例题的4 个多边形）请看：这儿有4 个多边形。

（1）数数算算，完成表格。

指名回答：分别口答4 个多边形的面积。

过渡：“面积”已经知道了，刚才同学们猜想面积和什么有关？（多边形边上的钉子数）

集体数出：边上的钉子数。

（学生汇报，教师同时将表格补充完整）

（2）观察表格，引导发现。

师：观察表格，你能看出这些多边形的面积和边上钉子数的关系吗？

预设：多边形的面积＝多边形边上的钉子数÷2，多边形的面积是多边形边上的钉子数的一半。

师：这样说起来比较麻烦，数学追求简洁美，怎样能简洁地表示出我们刚才的发现呢？

师：面积我们一般用S 表示，如果用n 表示多边形边上的钉子数，那刚才发现的这个规律可以怎样表示？

教师确认、说明字母表示的关系式，并板书：S＝n÷2。

3.观察比较，反思质疑。

（1）引导：这个规律只是由老师提供的这几幅图中得到的，是不是完全正确的呢？还要进一步验证。有什么办法验证？

（引导学生再找个图形来验证一下是不是符合这个规律）

（学生独立画图计算验证）

（2）汇报：依次出示符合规律的图形和不符合规律的图形。

师：你有疑问吗？

师：为什么有的图形符合规律，有的不符合规律？

师：（追问）符合这个规律的多边形有什么共同特征？

讨论后明确：符合规律的多边形内部的钉子数都为1，不符合规律的多边形内部的钉子数不是1。

（3）小结：多边形的面积不仅和多边形边上的钉子数有关，还与多边形内部的钉子数有关。这个规律仅仅限于内部是1 枚钉子的情况。我们可以用a 表示多边形内部的钉子数，也就是说当a＝1 时，S＝n÷2。

（在上面得出的关系式前补充板书：a＝1）

师：像这样多边形内部是0枚或者2 枚的，它的面积和边上的钉子数有没有规律？看来，研究还得继续。

【设计意图：当多边形的内部只有1 个钉子时, 得到规律的整个过程都是由学生主动去探究,教师只是合作者、 引导者和组织者的角色。在探索过程中帮助学生去对比, 一步步深层次地发现结论，整个过程中学生的学习都是愉悦和主动的。通过表格学生很容易发现结论, 但他们的发现又是不全面的, 教师及时的介入使得学习更加高效。】

2.继续研究，拓展认识。

（1）提出问题，明确方法。

引导：真好！那你们组准备研究内部是“0”枚钉子数的还是“2”枚钉子数的多边形与钉子数的关系呢？

师：怎么内部是“2”枚的没有小组研究？哪组愿意挑战一下呢？有没有信心？

（2）各自画图，探究规律。

①分组画图，探究规律。

②汇报分享，总结规律。

引导：我们来看一看这表格中的数据，你们发现面积和边上的钉子数有什么关系？

边汇报边板书：

a＝2 时，S＝n÷2＋1。

a＝0 时，S＝n÷2－1。

【设计意图：如果说“当多边形内有1 个钉子” 的研究是扶,那“当多边形内有2 个或者0 个钉子”就是半扶半放,而后面内部有多个钉子的研究则完全是放。放的过程中进行适当引导和方法的总结,学生在正确的方法下进行有序的研究,这才是真正的学习。】

3.引导猜想，概括规律。

（1）引发猜想。

提问：我们已经发现图形内部钉子数a＝0，S＝n÷2－1；a＝1，S＝n÷2；a＝2，S＝n÷2＋1。多边形内部有3 个点，它的面积与边上钉子数又有怎样的关系呢？请同学们猜一猜。

预设：a＝3，S＝n÷2＋2。

师：下面，同学们能接着说一说吗？

根据学生回答板书：

a＝4，S＝n÷2＋3。

a＝5，S＝n÷2＋4……

2.拓展延伸，揭示规律。

引导学生观察关系式。

提问：这么多规律，说得完吗？能不能用一个规律来表示呢？

归纳：S＝n÷2＋（a-1）。

师：如果要知道我们的猜想是否正确，还需要咱们进一步举例验证。

智慧话语：数学的学习要举一反三，大胆猜想，严谨验证！

三、应用规律，回顾反思

1.解决问题。

师：你能用今天所学的知识求下面图形的面积吗？

2.拓展视野。

师：我们今天研究的规律，奥地利数学家皮克做过研究，就是数学上著名的“皮克定理”。如果需要进一步认识和了解，可以阅读中国的闵嗣鹤撰写的《格点和面积》这本书，从中领略数学的神奇与美妙！

3.回顾小结。

师：回顾探索和发现规律的过程,你有什么体会?

结语：真不错！同学会观察、会猜想、会在验证中发现和研究规律。非常了不起！