数学抽象能力的内涵及其体系构建——以初中数量关系内容为例

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《义务教育数学课程标准(2011 版)》(以下简称《课标(2011 年版)》)提出数学核心素养“核心概念”，其中涉及数学抽象思想的有六个：数感、符号意识、空间观念、运算能力、模型思想和应用意识。高中学段提出的六个数学学科核心素养，数学抽象能力的培养在核心素养的首位。

一、数学抽象能力的内涵

对数学抽象能力的讨论离不开数学核心素养。根据国内相关研究可分为以下几种观点：1.高中数学课程标准修订组史宁中教授为代表的“三会”描述性定义(整体概况为会用数学的眼光观察现实世界、会用数学的思维思考现实世界、会用数学的语言表达现实世界[1])；2.六种数学能力的结构划分；3.张奠宙为代表，在六种能力的基础上强调情感、态度、价值观层面重要性的观点。4.吕世虎为代表的数学知识与技能、问题解决能力、数学思维和数学精神交叉融合的观点。[2]5.数学核心素养包含数学思维方式、数学关键能力及通过数学活动进行人格养成的观点。[3]

聚焦几种观点，抽象能力在数学核心素养的构成中极为重要，这也是由数学学科的特点决定的。数学是对现实世界的抽象，并反映现实世界中事物的规律、关系和本质。数学抽象就是数学思维的过程。多种表述中，将数学抽象归纳到重要的数学思维层体系中。

目前数学抽象能力的内涵分析，吕世虎等专家表述中体现抽象中含有表达，认为数学抽象是从数学角度识别并归纳出问题情境中所蕴含的数学规律和数学问题，并用准确表述[2]；同时存在表达中含有抽象之意，体现为运用数学表述和解决问题的过程中，重复认识数学具有抽象的特点；还有用其它名词取代数学抽象的倾向，如：张奠宙、马文杰提出：数学抽象的意义较宽泛，与其他关键能力多有重复；算法设计更贴近信息时代的社会需求。用“算法设计”取代“数学抽象”。不同表述都具有相同点，即在抽象过程中，时刻伴有表达的发生，抽象与表达交叉存在。

对数学抽象能力的界定必须体现其过程性，包括基于现实和基于逻辑的不同阶段思维过程。思维的过程就是表达的过程，语言承载着思想；思想是思维的结果，体现了语言产生、发展与表达的内心活动。

二、数学抽象能力体系的构建

1.现有数学抽象的素养水平划分情况 教育部于2018 年1 月颁布了《普通高中数学课程标准(2017 年)》，对数学抽象的素养进行了水平的划分。在评价项目基本相同的情况下，体现为描述项目的定语不同，如体现抽象数学概念和规则标准的用语：

水平一：在熟悉的情境中直接抽象出数学概念和规则；

水平二：在关联的情境中抽象出一般的数学概念和规则；

水平三：在综合的情境中抽象出数学问题。

三种水平的确定为螺旋上升式。此种划分是一种理想化的形式，默认为学生在不同水平段均具有各项能力，只是在水平的发展上有不同的层次，忽视了学生能力发展的差异性，与学生实际能力的发展有不符之处。

2.初中数学抽象能力构成体系分析 依据能力形成的过程性，确定初中数学抽象能力的构成体系，由低到高分为三个层面：阐释数学对象层、形成数学事实层、进行数学表达层。

以一初中数学数量关系问题为例，

问题：填上表格中? 表示的数：

分析：

第一个阶段：观察表格中的数，按照找规律的方式，一般情况下从序号3 一列开始分析比较容易。

将3 分解为3×1；8 分解为4×2；15 分解为5×3；24 分解为6×4…

列式即为：3=3×1；8=4×2；15=5×3；24=6×4…

将此列等式用数字、文字共用方式表述为：

因数3 与序号3 相同，因数1 比序号3 少2；

因数4 与序号4 相同，因数2 比序号4 少2；

因数5 与序号5 相同，因数3 比序号5 少2；

因数6 与序号6 相同，因数4 比序号6 少2…

本阶段为阐释数学对象层，即在具体的案例中，阐释数学对象。

第二阶段：用一句话概括数学对象，即每个序号下方的数可以分解成两个因数的乘积，其中一个因数总与序号相同，另一个因数总比序号少2。

本阶段为形成数学事实层，即在具体的案例中，抽象出规律，在特例的基础上形成数学事实。

第三阶段：用符号表述序号n 下方的数为n(n-2)。

进行验证：当n=1 时，1×(1-2)=1×(-1)=-1

当n=2 时，2×(2-2)=2×0=0

演绎推广，当n=200 时，n(n-2)=200×(200-2)=200×198=39600。

本阶段为进行数学表达层，即在理解了相关的数学事实后，用符号化的语言进行数学表达，并推广应用。

教师依据此体系进行教学，可以准确查找、发现过程性问题，确定抽象能力体系中出现问题的层面，进行教学矫正。

3.初中数学数量关系内容的具体要求

(1)《课标(2011 年版)》对数量关系内容界定的学段目标分析

初中阶段涉及数量关系的教学内容，呈现数、字母、代数式、等式、不等式、函数的教学体系。

数量关系内容的教学脉络呈现了层次性、阶段性、持续性，与学生抽象能力的形成所应具备的过程相一致。

《课标(2011 年版)》在阐述学段总目标的项目里，细化到数学抽象能力，如在运用数学表述和解决问题的过程中，认识数学具有抽象的特点。这一阐述和数学抽象能力体系的构建也是相互呼应、密切联系、相互交融的，其中情感态度层面的要求融合在体系的构建全过程。

初中数学抽象能力的形成是需要依托具体的教学内容、教学过程进行的，正如数字2 是人们从2 匹马、2 棵树、2 个人、2 块石头等现实概念中产生一样，这个过程是有层次的，遵循了数学发展从繁到简的认识规律，但其形成过程借助数学抽象能力体系图层能实现可视化定位。正如皮亚诺所说“数学中的一切进步都是引入符号后的反响。”将现实问题转化为形式符号进行研究，利用数学语言对研究对象进行深入结构分析、规律探索，是初中数学抽象能力形成的过程。