推导弹性力学极坐标中平衡微分方程和几何方程的解析法

陈彦 陈丰 邵红才

(扬州市职业大学土木工程学院，江苏扬州225000)

平衡微分方程和几何方程是弹性力学课程中非常重要的内容。教材[1]中平面问题极坐标中的平衡微分方程是先取径向和环向的微元体，然后按照静力学的平衡条件导出；几何方程是先取径向和环向的微线段，然后按照线应变和切应变的定义导出。推导方法虽然和直角坐标系一样，但极坐标中环向的坐标线是曲线，导致推导过程的难度变大，容易出错，最后方程的项增多，形式也不如直角坐标中的方程那样对称，这种方法可以归结为几何定义法。事实上，对于极坐标中的平衡微分方程和几何方程，可以从直角坐标中的方程直接导出，不需要作图。根据直角坐标和极坐标中偏微分算子的转换式、应力和应变分量的坐标变换式以及基矢量变换矩阵，提出了推导极坐标中平衡微分方程和几何方程的解析法，将直角坐标中的方程直接变换成极坐标中的形式。

1 解析法推导极坐标中的平衡微分方程

《弹性力学》[1]中平面直角坐标系中的平衡微分方程为

《高等数学》[2]中直角坐标系和极坐标系中偏微分算子之间的转换关系为

《弹性力学》[1]中极坐标系中的应力分量σρ，σφ，τρφ和直角坐标系中的应力分量σx，σy，τxy之间满足坐标变换式

体力矢量f在极坐标系中的径向分量fρ，环向分量fφ和直角坐标系中的分量fx，fy如图1所示，

图1 体力分量坐标变换

满足M为直角坐标系变换到极坐标系的基矢量变换矩阵[3]。

将应力分量坐标变换式(3)中的σx和τxy分别代入偏微分算子转换式(2)得到

将式(5)和式(6)以及式(4)中的fx代入平衡微分方程(1)的第一式，并化简得

同样的方法变换平衡微分方程(1)的第二式，化简得

对比方程(7)和方程(8)，设法消去sinφ和cosφ项。方程(7)×cosφ+方程(8)×sinφ得

方程(7)×(-sinφ)+方程(8)×cosφ得

方程(9)和方程(10)即为极坐标中的平衡微分方程。

2 解析法推导极坐标中的几何方程

《弹性力学》[1]中平面直角坐标系中的几何方程

《弹性力学》[1]中虽然没有给出两坐标系中应变分量的坐标变换式，但可以通过应力分量的坐标变换式和平面问题的物理方程导出，这里推导过程省略，

结论为

位移矢量u在极坐标系中的径向分量uρ，环向分量uφ和直角坐标系中的分量ux，uy仍然满足

变换几何方程(11)中的第一式，用应变分量坐标变换式(12)中的εx代入左边，将式(13)中的ux代入偏微分算子转换式(2)的第一式，计算出∂ux/∂x然后代入右边，得

同样的方法计算出∂uy/∂y，∂uy/∂x和∂ux/∂y，这样几何方程(11)的第二式变换为

几何方程(11)的第三式变换为

将方程(14)和方程(15)相加得

将方程(14)减去方程(15)得

对比方程(16)和方程(18)，设法消去sin 2φ和cos 2φ项。方程(16)×sin 2φ+方程(18)×cos 2φ得

将方程(16)×cos 2φ+方程(18)×(-sin 2φ)得

方程(20)即为极坐标中几何方程第三式，由方程(17)和方程(19)得

方程(21)即为极坐标中几何方程前两式。

3 结语

在将直角坐标系中的偏微分方程等价变换到极坐标系中的方程时，出现了三角函数项，如果令φ=0，此时直角坐标中的x轴和y轴分别与极坐标中的ρ轴和φ轴方向重合，虽然能很快得出结论，但这只是一个特例。事实上，通过方程之间的消元法可以看到，不管φ的取值如何，对应的三角函数项只是一个参数，是可以消去的，这样极坐标中的平衡微分方程和几何方程确实不含三角函数项，使得推导过程更加严谨，也更具有一般性。此方法与传统的几何定义法相比有异曲同工之处，在教学中可以对比使用。