浅析模型思想在生活实际中的应用

楼珈池

[摘  要] 模型思想是数学学习的灵魂，应用模型思想解决生活实际问题不仅能引领学生获得知识与技能，还能促进学生数学思维的发展与解决问题能力的提升. 文章具体谈谈不等式模型、方程模型、函数模型与几何模型在生活实际中的应用.

[关键词] 不等式模型;方程模型;函数模型;几何模型

史宁中教授认为：“数学学科的发展离不开抽象、推理、模型三种思想. ”其中，模型思想是2011版的新课标新增的一个核心词，指用数学模型的方法解决问题的一种思想[1]. 它的形成主要依靠学生理解和体会数学现象与生活实际的联系，从具体生活情境中抽取数学问题，再利用数学符号建立不等式、函数或方程等来表示问题中的规律变化或数量关系.

不等式模型思想在解决量与量关系中的应用

日常生活中的市场营销、价格核定、统筹安排、盈亏以及生产决策等问题均需进行一定的数据分析，研究量与量之间的关系. 不等式就是研究这些问题之间量与量的关系的模型之一，它通过对问题中某个量的变化范围的确定而解决问题. 用不等式（组）解决生活实际问题是近些年常见的考题，这就要求学生构建相应的模型思想，通过解题思路的拓展，解题规律的把握来提高解题能力[2].

例1  李明用28元钱去购买作业本，若想购买5本两种规格的作业本，使得本子的总页数≥340页，作业本的页数与单价见表1，请为李明设计一种最节约的购买方案.

分析  這道题涉及的不等关系有：①购买作业本的数量为5本，所花费的金额不超过28元;②作业本的页数≥340页. 根据这两者的关系来建立不等式组则能让问题迎刃而解.

解  假设共购买x本作业本1，作业本2的数量为（5-x），根据题意列式：6x+5（5-x）≤28100x + 60（5-x）≥340，得1≤x≤3.

因为x是整数，所以x的值可取1、2、3，此时有三种购买方案：①若x的值为1时，用来购买作业本需要花费6×1+5×4=26（元）;②若x的值为2时，用来购买作业本需要花费6×2+5×3=27（元）;③若x的值为3时，用来购买作业本需要花费6×3+5×2=28（元）.

根据题意可知，李明购买一本作业本1、四本作业本2所花费的金额最少，且符合题目要求.

教师引导学生通过分析问题中所呈现的不等关系，建立不等式组，分类讨论获得相应的结果而解决问题，此解题过程就是模型思想的建立过程，学生通过解题而拓展思维. 新课标指出初中学生要初步运用数学思维解决生活中的一些问题. 不等式（组）的问题一般反映了生产实际与数学之间的联系，它的模型建立是在学生有一定的分析能力的基础上，由一些生活问题抽象而成，其模型思想的形成对解决生活中常见的数学问题具有重要的意义.

方程模型思想在解决数量等量关系中的应用

方程模型的建立能让学生完成思维的飞跃. 等量关系是方程模型的“灵魂”，在我们的实际生活中到处都有数量等量关系的存在，方程模型作为研究等量关系的重要方法，能帮助学生从等量关系的各个角度描述、认识这个世界. 例如生活中常见的分期付款、浓度问题、行程问题、储蓄利息、打折销售等都可以抽象成方程模型以解决相应的问题.？摇

例2  若想将20克15%的糖水、15克40%的糖水、纯糖和纯水四种物质配制出30克含糖量为20%的糖水.

（1）配制方案有哪几种？

（2）若想尽量多地用糖水进行配制，应设计怎样的配制方案？

分析  用题设中的四种物质配制出30克含糖量为20%的糖水，可以有很多种方法：①用纯糖和纯水进行配制;②用20克15%的糖水加糖和水进行配制;③用15克40%的糖水加纯水进行配制;④用15%的糖水与40%的糖水混合配制等.

每一种配制方法都对应着相应的方程组，例如第①种方案，用纯糖与纯水进行配制：

设需纯糖x克，纯水y克，列方程组为：x+y=30x=30×20% ，得x=6，y=24.

第②种方案，用20克15%的糖水加糖和水进行配制：设需纯糖x克，纯水y克，列方程组为：20×15%+x=30×20%，20+x+y=30，得x=3，y=7.

第一问的配制方法有很多，教师可引导学生根据每种配制方案列方程组进行解题. 第二问提出尽量多地使用糖水进行配制，考虑到15%的糖水一共只有20克，想要尽量多地使用糖水就得将20克15%的糖水完全用上，缺少的部分再使用40%的糖水和纯水进行勾兑.

假设需使用浓度为40%的糖水x克，纯水y克，列方程组为：20+x+y=30，20×15%+x×40%=30×20%. 得x=7.5，y=2.5.

为了配制出30克含糖量为20%的糖水，建立含有未知数（x、y）的等式方程组，通过未知数的求解而获得问题的答案，这个过程就是方程模型的构建过程. 模型思想一旦建立，即使后期学习过程中忘掉具体的题目或一些知识，但只要使用这种思想就能够解决与等量关系有关的问题. 这种影响是长远的，具有前瞻性，是学生后继学习与生活的保障.

函数模型思想在解决事物之间联系中的应用

函数模型思想是解决一切事物之间联系的首选方法，它反映和揭示了世间万物的运动规律与数量关系. 随着科技的发展，我们在生活中常常接触到诸如造料价、最小成本、最优方案、最大获利等问题，函数模型思想的渗透能有效地帮助学生抽象出这些问题的本质. 初中阶段涉及的函数模型有一次函数、二次函数、正比例和反比例函数等，学生在这些函数模型思想的建立与应用中形成良好的数学逻辑思维，从而有效地提高解决实际问题的能力.

例3  某公司食堂采购员提着竹篮（0.5斤）去菜市场，准备购买10斤草鸡蛋，在往竹篮里装草鸡蛋时觉得鸡蛋的数量跟平时有较大出入，便将装着鸡蛋的篮子称了一下，共10.55斤，请问摊主应再给他多少鸡蛋才够足10斤（精确到整斤）？

分析  假设卖家称得鸡蛋x斤，而实际重量是y斤，很容易发现卖家所称重量与实际鸡蛋的重量之间有着一定的联系（正比例函数关系），根据这个关系可知卖家的秤存在怎样的误差.

解  设称得鸡蛋为x斤，实际重量是y斤，竹篮的重量是0.5斤，因此增加的重量：10.55-10.5=0.05斤，据此可列式：y=x，x=10的时候，y≈9，10-9=1，因此卖家应再补一斤鸡蛋给采购员.

本题粗看觉得摊贩并没有缺斤少两的现象，连篮带鸡蛋比预想的10.5斤还多了0.05斤，但细细琢磨，卖家称的是10斤鸡蛋，竹篮重量为0.5斤，那么这0.05斤是从何而来呢？据此思考并分析，发现问题的关键在于秤存在一定的误差. 只要找到问题的源头，理清思路就能顺藤摸瓜地解决问题. 问题在函数模型思想的使用中变得得心应手，毫不费力. 因此，函数模型思想的应用是解决一些具有内部联系事物的首选方法.

几何模型思想在解决测量关系问题中的应用

几何是初中数学的重要内容之一，想让学生领悟几何的精髓与内涵，模型思想的渗透是必不可少的一个环节[3]. 生活中的车轮、花盆、显示屏、自行车三角形的车架等都涉及几何问题. 教师只要将这些问题转化成相应的几何模型，很多问题将迎刃而解.

例4  因条件限制，无法直接测得小红家到小明家的距离，你能设计出测量方案吗？

分析  为了便于学生理解题意，可将小红家设定为A点，小明家设定为B点，想测得AB的距离可根据已学知识从不同角度去思考.

（1）从勾股定理的角度思考，构建一个直角三角形，求出AB的值;

（2）从等腰或等边三角形的性质角度去思考，求出AB的值;

（3）从角形中位线的角度去思考，求出AB值.

……

起初，这个问题让不少学生感到茫然，无从下手. 但从几何模型的构建进行思考，解题思路瞬间豁然开朗. 但是，在课堂中仍有不少教师还是采取传统的以理论讲解为主，简单画图为辅的教学方式，使得部分学生难以理解知识的内涵，导致学习信心的丧失. 因此，教师应充分发挥舵手的作用，引导学生遇到一些测量问题时，首先考虑用几何模型思想去解决.

总之，数学模型思想可运用于生活实际中的各种问题，我们要在了解其价值的基础上，弄清问题的性质，选择合适的模型方法即可. 学生在模型思想的使用过程中体验其本质，对生活中的数学现象产生更深的感悟，从而有效地突破解题过程中的思维障碍，为灵活运用模型思想夯实基础.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定. 义务教育数学课程標准（2011年版）[S]. 北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]G.波利亚. 怎样解题：数学思维的新方法[M]. 上海：上海科技教育出版社，2007.

[3]邱红松. 初中几何课堂教学过程重构与视频案例研究[D]. 华东师范大学，2004.