基于激发学生深度思维的课程设计思考——以高等代数概念学习为例

张锦添 顾勇为

（信息工程大学基础部 河南·郑州 450001）

高等代数是具有高度抽象性同时逻辑性极强的一门数学学科，在学习过程中，不仅需要学生从知识层面理解和掌握高等代数的基本概念、基本理论和基本方法，更要慢慢培养较强的抽象思维和创造性思维能力。这就要求教师在日常教学中注重对学生深度思维能力的训练，这对提高数学核心素养和课堂教学质量具有重要的意义。因此，以激发深度思维，促进学生深度学习为目标，针对高等代数的概念学习进行了策略分析，通过学科的发展背景、知识的研究发现和兴趣的激发驱动等层面，培养学生思维的发散性、创造性和深刻性，逐渐探索以学科方法论引领思维、以研究式教学激发兴趣的教学体系。

1 以学科的发展背景培养发散思维

高等代数本身是一个迷人的数学学科，具有悠久的研究和发展历史，而数学发展史的背后更重要的是知识发展的客观规律。数学发展史妙趣横生的介绍，相关知识概念的触类旁通，知识点的串联，不仅仅给学生带来代数学习的热情，更重要的是帮助他们建立对知识更宏观的认识，从历史发展角度感知科学进步，从具体方法层面体会深层次规律。学科方法论比知识本身更重要，一个数学问题的提出，数学家前赴后继的多角度分析、思考、佐证和解决，这个过程能够揭示知识的发生过程和方法的形成过程，引发和调控学生的思维活动，在这样的思维活动中，体验数学、感悟数学、走进数学。

具体到高等代数的某次课程设计，在引入向量概念的过程中，先介绍向量的历史起源。向量最初被应用于物理学，很多物理量如力、速度、位移以及电场强度、磁感应强度等都是向量。大约公元前350年前，古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示成向量，两个力的组合作用可用著名的平行四边形法则来得到。最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿。18世纪末期，挪威测量学家威塞尔用平面坐标上的点表示复数，并利用复数运算定义了向量的运算。19世纪80年代，英国数学家居伯斯在三维空间中定义了向量，并把向量概念引入到微积分，丰富和发展了解析几何。通过这些历史背景和生活场景，使学生对以往接触的向量的概念获得一个综合印象，对知识的把握更为形象化，产生更为深刻的感性认识，消除对向量陌生抽象的感受，

2 以知识的研究发现引导主动思考

高等代数的很多概念都具有高度的抽象性，学生从中学阶段接触的二维平面、三维空间问题，拓展到高等代数中n维向量的情形，缺乏几何直观，对于概念的理解和方法的掌握都是十分困难的。如果只是按照教材知识结构模式进行灌输教学，会让学生感到知识的晦涩和学习的被动。因此在教学过程中，我们尝试重新组织编排教材中的知识点和教学顺序，从具有实际生活场景的例子入手，引导学生去发现已有知识的瓶颈，从悬念出发引导大家主动思考求解方法。从研究的角度，让同学们自己探索，不再是被动、机械地接受理论，而是通过对问题的思考自行研究发现知识。

以高等代数第四章的最大无关组的概念介绍为例。人类总是在寻找构成世界的基本元素，从金木水火土，到元素周期表。向量组，特别是包含无穷多个向量的向量组，有没有较少的一些元素，或说较少的一些向量，可以生成整个向量组呢？最大无关组正是由这样的一些代表元素所构成，一方面它们可以线性表示出整个向量组；另一方面如果它们其中减少了一个，就不足以线性表示出整个向量组了，即一个都不能少。另外，最大无关组不是唯一的。这个数学概念，可以从生活中的很多实际问题出发便于理解。比如，人们吃饭要讲究营养搭配，需要淀粉、蛋白质、脂肪、维生素，那么可以选择A套餐：米饭、鸡蛋，炒肉、苹果。也可以选择B套餐：面条、豆腐、鸡腿、桔子。每个套餐中各种食材具有不同的营养成分（类似于线性无关），而且营养套餐不唯一（类似于最大无关组不是唯一的）。

一个典型的问题是，已知一个向量组的每个具体向量，求该向量组的最大无关组，并把不属于最大无关组的向量用最大无关组线性表示。为了解决这个问题，先进行基本的理论铺垫，证明以下命题：对一个矩阵作行初等变换，不改变列向量组的线性相关性。有了该命题，从已有知识困境中出发，一步步引导学生采用初等变换法解决问题，将向量组的所有向量按列组合出一个矩阵，对该矩阵做行初等变换，成为行最简形矩阵，从行最简形矩阵找出列向量组之间的线性关系，而此关系与行初等变换之前的列向量组之间的线性关系是一致的。通过简单形象的例子引出研究的根源，从问题出发设置悬念，随着新知识和新概念的引入，慢慢剥离出解决问题的过程，从而使学生的思维从被动式接受转变为主动式思考，充分调动学生的专注力和学习热情，师生互动更为自然有效。

3 以兴趣的激发驱动促进深度学习

兴趣是求知的先导，是驱动课堂的动力。学习兴趣的培养一方面需要形式上的新颖活泼，另一方面在更深层次上要满足学生对思维收获的追求。在传统的课堂中，教师习惯用自己的预设方案将学生的思维控制在某个无形的空间中，学生更多时候扮演着遵从者和执行者的角色。这种教学模式会让学生感到效率不高、收获不大。因此在日常教学中，我们注重在知识实际应用的真实情境中呈现知识，把学与用结合起来，以学生为中心，充分调动他们的积极性，让学生像数学家发现知识一样进行思考。学生的学习过程不仅仅以知识的理解和应用为任务，而是从中体会知识创造过程中的共性，同时也是科研创新能力的基础。

在n元线性方程组解的结构的学习中，我们就创设了几何空间情境帮助学生理解、激发学生兴趣。三维空间是现实的空间，直观可见。一个三元线性方程在此空间中表示一个平面，是二维空间。我们可以理解为，一个方程相当于一个约束，三维空间给一个约束，降为二维。两个线性方程组成的方程组，相当于三维空间给两个约束，降为一维，成一条直线。三个线性方程组成的方程组，三维空间给三个约束，降为0维，成为一个点。n个未知数m个线性方程组成的方程组的解是什么情况呢？n个未知数组成的向量存在于在n维空间中，如果不给约束，就充满整个n维空间。现在给了m个方程，是不是减少m维呢？不是的。这m个方程中存在一些等价重复表达。只有经过同解变形，成为r个有效方程（或称独立方程）后，这些方程才是相互独立不能相互取代的。因此，实际上n维空间减少了r维，成为了n-r维空间，这正是解空间的基本情况。

在当今时代背景下，教育目标的新要求应运而生，因此迫切需要通过教学模式的深刻变革，建设与之相匹配的教学形态。我们通常将教学过程中全要素组合所表现出来的一系列特征称之为教学形态，主要由教学模式、教学方式、学习方法、考核评价、师生关系等构成。厘清教学的新形态，不仅意味着从技术层面探讨各种教学手段的运用，也从内容层面探讨课程知识、教学方式的转变，在技术与内容的基础上，还从理念层面研究在教学实施过程中对学生产生的影响以及随之而来的价值观、教育观、学习观的转变，探明学生、教师、院校等教育主体被赋予的新角色，进而真正实现多方面深层次的融合。

为适应学生对知识的全新要求，高等院校的教育者应专注于教学内容的创新实践、教学模式的重塑改造、教学方法的变化革新，将传统教育中想要完成但无法完成或者完成度不高的事情进行升级改造。比如说，教育重点从传统的基础知识技能培养转向创新能力素质和创造性思维的培养，教育方式从标准统一到个性定制，教学周期从固定学制和时间的学历性教育到长期随时的终身学习教育。在转变过程中，作为知识的传授者和思想的传播者，教师将在教育全要素流程中发挥出至关重要的作用，推动新型教学形态乃至是整个教育生态体系的更新与创建。

随着对教学的思考探索，我们更加深刻地意识到教师绝不仅仅是教书匠，教授一门课绝不是简单的讲教材，培养学生更不是简单的满堂灌，在教学中不仅要传道授业解惑，更重要的是培养学生的思维方式和学习方法。在以思维引领、激发兴趣的教学理念引导下，对高等代数的概念学习进行了初探，我们将持续努力，在深度和广度上进一步发展，促进学生的深度学习，不忘育人初心，提升育人质量。