基于核心素养下的数学概念探究

【摘要】在数学概念教学中，提升学生的数学抽象素养是教学任务之一.数学概念是揭示事物的数量关系、结构关系、空间形式的本质特征的一种反映形式.教师如果把缺乏数学对象本质特征的揭示过程作为载体的思维探究活动来设计教学，将丧失“使学生经历研究一个数学对象的基本过程”的机会，浪费了一个培养学生发现问题和提出问题、分析问题和解决问题的好素材.探究过程中没有实质性的数学思考，将使培养学生的数学抽象与数学建模能力、逻辑推理能力、发展学生的几何直观能力等核心素养落空.本文从反函数、相同函数的概念，以及运算性质、公式的推广等方面对对数函数再认识，就是从概念的定义出发，由表及里，去伪存真，掌握概念的本质属性，这是提升学生数学核心素养的必要条件，也是建议改动形式函数定义的一个原因.

【关键词】核心素养;数学概念;概念修改

【基金项目】本文系甘肃省白银市教育科学“十三五”规划课题（课题批号BY[2019]G299号）研究成果.

一、问题提出

《普通高中数学课程标准（2017年版）》在课程“基本理念”中提出了“高中数学课程以学生发展为本，落实立德树人根本任务，培养科学精神和创新意识，提升数学学科核心素养”的课程理念[1].数学学科的核心素养主要由数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等六个方面组成，这些核心素养既有独立性，又相互交融，形成一个有机整体.在数学概念教学中，提升学生的数学抽象素养是教学任务之一.数学概念是揭示事物的数量关系、结构关系、空间形式的本质特征的一种反映形式.数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程.数学具有高度抽象的特点，要求我们能从具体事物中区分、抽取研究对象的本质特征，即抽象概括，通过抽象概括的过程，认识和理解研究对象.数学概念的获得离不开数学抽象的过程，而数学抽象是数学六大核心素养之首，因此，数学概念的教学就成为培养和提升学生数学抽象核心素养的重要环节.

二、问题所在

回顾自己数学概念的教学和听取几位老师对有关数学概念课的教学评论，总觉得有些地方着力不够.比如现实中，教师从一个特例揭示概念，学生通过单纯的记忆掌握概念，这样的情形还是普遍存在的，其结果往往是学生记住了概念的外在表述形式，但没有深入理解概念的内在含义.这样的学习，学生完全不了解知识内在的联系，也很难形成学习方法上的建构，更难以提升数学核心素养.再如，在教学中既缺乏以数学概念的抽象过程为载体的学生认知过程分析，时有照本宣科的灌输现象，又缺乏数学对象本质属性的揭示过程为载体的思维探究活动设计，而对概念的机械性记忆和性质的程式化训练乐此不疲.可见概念教学是中学数学至关重要的一项内容，是基础知识和基本技能教学的核心，正确理解概念是学好数学的基础，学好概念是学好数学最重要的一环.数学素养的差异关键是对数学概念的理解、应用和转化等方面的差异.因此，抓好概念教学可提高大多数学生的数学素养，同时，数学素养的提高可以为学生的各项能力和素质的培养提供有利条件和必要保障[2].

例1 下列函数（1）y=3log43√x;（2）y=logπx;（3）y=2log2x;（4）y=log5x;（5）y=log3（x+1）中，对数函数的个数为（）.

A. 2B.3C.4D. 5

分析 一般地，我们把形如y=logax（a>0且a≠1）的函数叫作对数函数（logarithmic function），其中x为自变量，函数的定义域是（0，+∞）.

注意 ①底数：a是大于0且不等于1的常数;②真数：自变量是x，且大于0;③系数：对数符号前面的系数是1.

解析 对数函数定义与幂函数、指数函数类似，都是形式定义，需要注意辨别.如y=log3x3，y=log5（5x） 都不是对数函数，因为它们不符合y=logax对数函数的形式，只能称其为对数型函数.

例1答案选A似乎正确.因为只有（2）（4）符合对数函数的形式定义，殊不知（1）（3）也为对数函数，应该选C.

由对数的运算性质logaMn=nlogaM   （n∈R），

它们都是对数函数，但y=log2x2y=log2|x|却不是对数函数.

另外，求（1）（3）两个函数的反函数，得到的都是指数函数y=ax的形式.由于指数函数y=ax的反函数是对数函数y=logax，也说明这两个函数都能化成对数函数的形式，故其为对数函数.

例2 下列函数（1）y=log2x;（2） y=log2x+2;（3）y=8log2（x+1）;

（4）y=logx6  （x>0且x≠1）;（5）y=log6x中，是对数函数的是.

答案 （1）（5）.

解析 就像y=3/x3与y=x2，y=x2与y=x是同一函数一样，y=log2x 与y=log4x的定义域相同，值域相同，图像也完全一样，所以y=log2x就是对数函数y=log4x.

再如例3：

例3 如果函数f（x）=（m2+2m-2）x1m2-1+2n-3是幂函数，求实数m，n的值.

解析 一般地，我們把形如y=xa的函数叫作幂函数（power function），其中x为自变量，a为常数.

注意：y=xa中，xa前面的系数是1，后面没有其他项.

解 由题意，得m2+2m-2=1，m2-1≠0，2n-3=0，解得m=-3，n=32.

例4 已知函数y=（a2-a-5）ax是指数函数，则a=，指数函数的解析式为.

解析 一般地，函数y=ax（a>0且a≠1）叫作指数函数（exponential function），其中x是自变量，函数的定义域是R.

注意 ①ax的系数是1;② 自变量x在指数位置;③底数是a>0且a≠1的常数.

解 依题意，令a2-a-5=1，解得a=3或a=-2.

又a>0且a≠1，所以a=3，

所以指数函数的解析式为y=3x.

三、问题解决

只要我们把课本中的形式定义“一般地，我们把形如……的函数叫作……”改为“一般地，我们把能够化为……的函数叫作……”，虽然幂函数、指数函数、对数函数的概念修改前后变化不大，但能使上述问题迎刃而解.例如，把“一般地，我们把形如y=xa的函数叫作幂函数，其中x为自变量，a为常数”改为“一般地，我们把能够化为y=xa的函数叫作幂函数，其中x为自变量，a为常数”，把指数函数、对数函数也都改成这样的描述，则以下习题师生做起来不会再含糊不清.

教师将核心素养目标渗透到教学设计中，通过科学合理的数学教学活动，让学生在数学学习中实现自我发展、自我超越、自我升华，从而培养学生的逻辑思维，发展学生的理性思维能力，使学生的学科素养在学习数学的过程中得到自主的发展.教师对概念的讲解要从实际情景出发，精心设计体验过程，要及时有效地解决教学过程中产生的问题，采用不同的教学方法，让学生通过观察、分析、揭示数学概念的本质.为学习新知识打下坚实的基础，要让学生真正理解概念，让学生从死记硬背和“标准”解题步骤中解放出来.这就决定了教师需要站在更高层面，对数学概念有更深层次的理解，分析每个例题所蕴含的数学概念、数学思想方法，回归数学的本质.数学概念的生成正是体现了数学的严谨性和精确性[4].

概念教学不可缺少思维，思维教学必须回到概念.概念的形成要从具体例子出发，归纳概括出一类事物的共同本质属性，这一过程是一种带有较多发现性的学习方式，所以在上课过程中必须积极指导，才能提高教学效果.在数学概念教学中，提升学生的数学抽象素养，这是数学教学任务之一，数学概念是数学知识体系的“细胞”，是建立数学理论的基础，正确理解、掌握和运用数学概念是学好数学理论的前提.因此，数学概念教学必须通过一定的练习来分清易于混淆的界限，也可以通过研究讨论其他的一些概念，如本文从反函数、相同函数的概念，以及运算性质、公式的推广等方面对对数函数再认识，就是从概念的定义出发，由表及里，去伪存真，掌握概念的本质属性，这是提升学生数学核心素养的必要条件.以上是本人对幂函数、指数函数、对数函数概念教学时的一些简单思考与认识，提出共商榷.

【参考文献】

[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2017.

[2]杨艳荣.以“核心素养”为培育目标的高中数学概念教学[J].杂文月刊（教育世界），2016（11）：129.

[3]王虎程.抓住概念核心，直擊概念本质：例谈幂、指数、对数函数的概念[J].数学学习与研究，2018（22）：111.

[4]岑国勇.一堂数学概念课的反思[J].贵州教育，2008（6）.