基于隐马尔可夫随机场和共轭梯度算法的脑部MRI图像分割算法研究

东南大学医学院附属江阴医院 影像科，江苏 江阴 214400

引言

MRI成像由于良好的空间分辨率、较高的组织对比度和非侵入性等特性，被广泛应用于图像引导介入、外科手术引导、放疗计划等方面[1-3]。MRI图像处理是诊断脑部疾病的基础，其中MR脑部图像分割作为图像处理的第一步，能辅助识别脑白质、灰质和脑脊液形态，提取病变区域，达到定量评估痴呆、精神分裂症、阿尔兹海默等神经性疾病，但MRI脑部图像分割一直面临着诸多挑战。

MR图像分割算法主要分为手工分割、半自动分割技术和全自动分割技术[4-6]。临床医师常用手工分割方法，当病灶数量较少且对比度较大时，主要操作简单、分割精度相对较高，但分割结果主观差异大，耗时较多。半自动分割技术主要包括图像阈值法、区域增长法、聚类分析法、基于特定理论法等，其中阈值法简单高效，借助图像灰度直方图选取分割阈值，将图像划分为背景和目标区域，但对灰度不均图像经常无法确定阈值，且对噪声敏感，分割精度很难得到保证。基于区域分割算法是根据相似性准则将像素或区域聚合为更大区域的过程，能有效克服空间不连续的缺点，但对相似性准则要求较高，且容易过度分割。聚类分析将图像空间像素用对应特征空间点表示，然后根据距离准则对特征空间进行分割，适用于存在不确定性和模糊性的图像，对初始聚类中心设置极为敏感。全自动分割技术不必借助脑图谱等分割参考图像，往往需要借助图像纹理、位置、方向等经验知识对图像数据进行训练，然后根据概率论构建自动分割模型。

隐马尔可夫随机场是一种有效的图像分割模型[7-8]，主要基于最大后验概率准则模拟目标函数最小值。而共轭梯度算法（Conjugate Gradient，CG）是一种最实用的参数优化算法，能快速准确计算目标函数最小值。基于此，本研究尝试将隐马尔可夫随机场和共轭梯度算法应用于脑部MRI图像分割。

1 隐马尔可夫随机场

马尔科夫随机场是一个由无向图表示的概率分布模型[9]，图中每个结点表示一个或者一组变量，结点之间的边表示两个变量之间的依赖关系。隐马尔可夫随机场则是一种统计模型，用来描述一个隐含未知参数的马尔可夫过程[10]。假定S={s1,s2,….sM}是图像节点的集合，图像由M个像素构成，每个节点s有一个邻域集合Vs(S)，邻域系统V(S)符合公式(1)描述的特质。

则第r个邻域系统X可由公式(2)定义，式中d(s,t)表示像素s与t之间的欧氏距离，仅由像素位置决定。

定义c为S的一个子集，其中所有元素互为邻域，对于一个非独立点集合，满足公式(3)，其中第p个子集Cp包含p个点。

采用y=(y1,y2,…,yM)表示待分割图像的像素点，x=(x1,x2,…,xM)表示已分割完成图像的像素点，M为像素点数量。yi和xi分别为第i个像素点灰度值，y和x可看成马尔可夫随机场家族Y的观测数据和X的对应真实分割结果，其中马尔可夫变量灰度空间Ey={0,1，…,255}，离散空间Ex={1,…,K}，K为图像区域分类数量。分割图像过程即可描述为在y发生时寻找最优X中x发生的概率，隐马尔可夫随机场可以通过最大化条件概率模拟此过程，见公式(4)。

根据贝叶斯定理[11-12]，可将公式(4)转换成公式(5)，P[Y=y]是常数。

由于所有像素点均相互独立，且根据中心极限定理，相同类别数据在大样本下总是趋于高斯分布，因此所有像素点灰度值满足正态分布，可得公式(6)和(7)。

由于所有像素点相互独立且同步，依据Hammerskey-Clifford定理，该隐马尔可夫随机场等价于Gibbs分布[13]，可得公式(8)，其中T为控制参数。

此处U(x)是由Potts模型定义的条件似然能量函数[14]，见公式(9)，其中β是常数。δ是克罗内克函数，见公式(10)。

将公式(7)和(8)带入公式(5)，可得公式(11)，μxs，σxs分别是类别xs的均值和标准差，当β＞0时，优先被分割均匀度较高区域，且区域大小由β控制，A是常数。

求概率函数P[X=x|Y=y]最大值等价于求函数Ψ(x,y)的最小值，如公式(12)。

直接准确计算分割结果x*是不可能的，因此采用最优化算法计算最佳估计值是xˆ 必要的。

设 μ=(μ1,μ2,…,μK)和 σ=(σ1,σ2,…,σK)分 别 为 分 割 图 像x=(x1,x2,…,xM)中K类区域像素灰度均值和标准差，见公式(13)，则计算函数Ψ(x,y)的最小值可转化为求Ψ(μ)的最小值。可根据ys归类到最接近的μj来计算x，如果最接近ys的均值是μj，则xs=j，因此寻找μ*即可得到x*，μ集合为μ=[0,…255]K，见公式 (14)。

2 共轭梯度算法

由此，隐马尔科夫随机场模型将图像分割过程转化为寻求目标函数Ψ(μ)最小值，本研究采用共轭梯度算法进行求解。共轭梯度算法是一种最小化类的迭代算法，主要思想是[15-17]：选择一个优化方向后，采用本次选择的步长更新完此方向的误差，随后在优化更新过程中不再朝此方向更新。由于每次将一个方向优化到极小，后面优化过程不再影响之前优化方向上的极小值，因此理论上对N维问题求极小只用对N个方向都求出极小即可，但需要每次优化方向共轭正交。

采用共轭梯度算法求解Ψ(μ)最小值时，需对Ψ(μ)进行一阶求导，此处一阶导数由中心差逼近形式表达，见公式(15)，则此一阶导数的充分逼近取决于ε值，经测试ε取0.01时效果最佳。

3 评价指标

图像分割准确性采用Dice相似性系数和特异性（Sensitivity）评估[18-19]，表示分割结果与真实结果的接近程度，取值范围均为[0,1]，评价指标越接近于1表明分割结果越精确，见公式(16)和(17)。其中A代表分割结果，B代表真实结果，TP、TN、FP和FN分别代表真阳性、假阳性、假阳性和假阴性。

4 结果

4.1 实验材料

为了验证本研究提出分割算法的可行性和准确性，选用两组不同分辨率的脑部MR-T1加权图像进行仿真实验。①选自IBSR脑图库临床实例MRI图像30幅[20]，图像大小为256×256×63 个体素，体素大小1 mm×3 mm×1 mm，算法中常数β设置为1，温度T为10，初始点μ0=(1,5,140,190)；② 选自BrainWeb脑图库仿真图像20幅[21]，图像大小为181×217×181 个体素，体素大小1 mm×1 mm×1 mm，且在图像中加入（0,0）、（3%,20%）和（5%,20%）的噪声。算法中参数设置如下：常数β为1，Brain Web-3控制参数T分别为10、4和1，初始点μ0均为（1,45,110,150）。并将本研究提出算法与经典马尔可夫随机场算法和三种改进的马尔可夫随机场算法进行比较，所有的仿真实验均在MATLAB平台上实现。

4.2 临床实例脑部MRI图像分割结果比较

本研究提出算法能完整清晰地识别出IBSR库脑部MRI临床图像的白质、灰质、脑脊液和背景部分（图1），表明本研究提出算法的可行性。经典MRF算法所得平均Dice相似性系数和特异性值均最低，表面该算法分割效果最差。其次，两种改进MRF算法所得平均Dice相似性系数和特异性值稍高于MRF算法，且大致相等，表明改进的MRF算法分割性能有所提升。基于本研究提出算法分割所得灰质、白质、脑脊液和总体平均Dice相似性系数分别达到0.895、0.855、0.832和0.848，特异性值分别达到0.902、0.912、0.923和0.912，且Dice相似性系数在各功能分区均有所提升：灰质（10.41%～11.12%）、白质（3.14%～3.39%）、脑脊液（4.26%～6.26%）和总体平均（5.87%～6.67%）；特异性值提升如下：灰质(1.69%～7.89%)、白质(2.93%～6.54%)、脑脊液(5.01%～9.75%)和总体平均(3.17%～8.16%)，表明本研究提出算法的有效性和优越性。定量分析结果，见表1。

图1 IBSR库脑部MRI图像分割结果

表1 不同算法分割IBSR库脑部MR图像所得Dice相似性系数

4.3 不同噪声水平脑部MRI图像分割结果比较

由图2可知，本研究提出算法可将BrainWeb库不同噪声水平MRI脑部合成图像准确分割成灰质、白质、脑脊液和背景部分，表明本研究提出算法的准确性与抗噪性。定量分析结果如表2所示，在噪声水平为0时，MRF改进算法所得脑区各部分Dice相似性系数和特异性值均低于本研究提出的HMRF-CG算法，表明本研究提出算法的优越性。噪声水平从（0，0）增加到（5%，20%）时，MRF改进算法所得平均Dice相似性系数有所升高，从0.705上升到0.918，平均特异性值呈下降趋势，从0.864下降到0.816，主要是该算法误将噪声误划分为图像目标区域像素所致，导致分割特异性下降。基于本研究提出算法不同噪声水平所得Dice相似性系数特异性值均微弱下降，但分割精度仍大于0.9，且均高于MRF改进算法所得对应值。不同噪声水平下不同脑分区Dice相似性系数下降幅度为：灰质（39.17%～0.66%）、白质（48.43%～0.11%）、脑脊液（27.96%～3.47%）和总体平均值（38.15%～1.42%），特异性值提升幅度为：灰质（14.20%～15.86%）、白质（14.13%～14.27%）、脑脊液（10.20%～12.35%）和总体平均值（12.85%～14.22%），表明本研究提出算法的抗噪性和特异性均较强。

图2 BrainWeb库不同噪声水平MRI脑部图像分割结果

5 结论

本文联合使用隐马尔可夫随机场和共轭梯度算法分割MRI脑部图像，其中隐马尔可夫随机场为图像分割过程建模，共轭梯度算法提供目标函数最优化解法。定性与定量分析显示，基于本研究提出算法能获得清晰准确地划分脑部各功能分区，临床实例和包含噪声MRI脑部图像分割所得Dice相似性系数和特异性值均高于其他算法，表明本研究提出算法的可行性、抗噪性和鲁棒性，适用于临床MRI脑部图像分割。

表2 Brainweb库不同噪声水平脑部图像分割所得Dice系数