浅谈几何证明题中辅助线的“无中生有”

【摘要】辅助线对于刚接触几何的学生来说非常陌生，为什么需要添加辅助线？怎么添加辅助线？都是学生所困惑的地方，它不是从天而降，而是学生根据已有的研究“垂直的判定”的经验以及“三线八角”的基本图形内化而来的，教师在教学过程中要最大限度地揭示该条辅助线产生的过程及必要性，让学生体会辅助线怎样在问题中“无中生有”，授人以鱼不如授人以渔，彰显这条辅助线的教育价值.

【关键词】辅助线、三线八角、基本图形、教材整合.

【课题】

1.“基本图形”在初中几何教学中的渗透策略研究;课题号L/2018/250.

2.波力亚解题思想在初中几何命题教学中的实践和延伸;课题号L/2018/251.

笔者在南京市教研室组织的初中数学案例设计大赛的教学研究课展示活动中，开设了研究课“平行线的判定”.本文对这节课的教学价值、教学设计及教学反思进行梳理，目的是与同行交流.

一、基于价值判断的教学分析

平行线的判定是平面几何的一个重要内容，它是研究几何图形数量关系与位置关系的基础，是学习简单的逻辑推理的素材，也是后续学习平行线的性质、三角形、四边形等知识的基础.

平行线的判定有三种方法，其中“两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行”（以下简称判定方法1）是另外两个判定方法的理论依据，所以判定方法1就显得尤为重要.目前，在初中几何学习的体系中，将判定方法1作为“基本事实”，符合初一学生的思维水平，但由于缺乏必要的逻辑说理，很难让学生在平面几何学习之初就形成“言之有理，落笔有据”的观念，因此在教学的过程中应更加注重得到这一基本事实的探索过程，培养学生的合情推理能力.另外，该方法中出现的第三条直线（辅助线）具有历史性的意义，它是初中几何中的第一条辅助线，辅助线对于刚接触几何的学生来说非常陌生，为什么需要添加辅助线？怎么添加辅助线？都是学生所困惑的地方，它不是从天而降，而是学生根据已有的研究“垂直的判定”的经验以及“三线八角”的基本图形内化而来的，教师在教学过程中要最大限度地揭示该条辅助线产生的过程及必要性，让学生体会辅助线怎样在问题中“无中生有”，授人以鱼不如授人以渔，彰显这条辅助线的教育价值.

二、基于教学分析的活动过程

1.同一平面内的两条直线

问题1 在同一个平面内任意画两条直线.相交、垂直、平行.

追问1 如何判断两条直线垂直？

追问2 垂直的定义是什么？请完整叙述.90°（角的数量关系）——垂直（位置关系）

设计意图：在画图的过程中，学生必然会调动已有的学习经验，画出“相交、垂直、平行”三种情形.一方面，可以自然出现本节课要研究的几何对象——平行线;另一方面，画垂直会用到三角板或量角器画直角，这里其实就是用角的数量关系刻画线的位置关系，再通过教师的提炼就可以形成一些数学化的认识，为后期的研究埋下伏笔.垂直的定义既是判定也是性质，也是我们研究几何图形的一般路径.垂直定义语言叙述中要强调“两直线相交所成的角中……”，重视“形结构”的文字描述，亦为后续“平行判定”完整的文字叙述打下伏笔.

2.探究平行线的判定方法

问题2 如何判断两条直线平行呢？

追问1 关于平行知道什么？可以用定义加以判断吗？

追问2 你会画平行线吗？（请学生上黑板演示，并将磁性三角板、直尺贴在黑板上，为后续教学做准备.）

追问3 能说出用直尺和三角板推平行的依据吗？

追问4 还有其他判断方法吗？

追问5 有判断位置关系的经验吗？

追问6 从数量关系来判断两直线是否平行可行吗？两条平行线有数量关系吗？若有，请指出;若没有可否“构造”出数量关系？

追问7 对于新构图你熟悉吗？与“三线八角”图有什么关系？

设计意图：对于平行，学生已知的有定义和平行线的画法，定义作为判定“不可靠”，用三角板和直尺推平行还停留在操作层面上，学生说不清其中的道理，多数会提到平移，但有了“垂直判定方法”“三线八角”的铺垫，学生不难想到添一条线“寻角”，从而解决问题，这里要注意小结“三线八角”与判定1的一般与特殊的关系.

追问8 你有什么发现？如何验证你的猜想？

追问9 改变截线的位置，结论仍然成立吗？

追问10 用运动的眼光观察“三线八角”图会有什么发现？

设计意图：从猜想、验证到归纳，是一个合情推理的过程，可以打下伏笔课后尝试是否可以演绎推理得到该结论，视学情而定.

追问11 能否书写判定方法1的文字、图形、符号语言？

追问12 用彩笔将同位角的两边描一描，你会有什么发现？

追问13 图中还有其他的同位角得到两直线平行吗？用彩笔描出.

追问14 彩笔描出的这些图形有什么特点？

设计意图：在判定1的文字语言表达中重视“形结构”叙述的完整性“两条直线被第三条直线所截……”教会学生如何使用彩笔描角，关注基本图形.

追问15 再回想刚刚用三角板和直尺验证平行的过程，你有什么发现？你能说明“推平行”的正确性吗？直尺、三角板都分別有着怎样的作用？将画图过程留痕，你能发现它与判定1之间的关联吗？补图试试.

追问16 此刻，作平行线还一定要用直尺和三角板去推吗？只用三角板可以吗？不用三角板呢？

作业：请画出一组平行线，并写出画图工具的名称（至少两种方案）.

设计意图：回到问题的最初，做到首尾呼应，明确直尺、三角形的作用，让操作抽象化、合理化.留下作图痕迹亦做到了基本图形的分离、构造.如果说从怎么“画”平行线到怎么“判定”平行线，需要将基本活动经验转化为数学认识，那么从怎么“判定”平行线到“再画”平行线，是知识应用、分析问题、解决问题能力的提升，也进一步打开了学生的数学思维.

问题3

还能找到其他数量关系也可得到两直线平行吗？

追问1 除了能利用“同位角”判定两条直线平行，还有没有别的办法？

追问2 能不能分别用图形语言（用彩笔把相应的角点出来）、文字语言和符号语言将你的想法写下来？

追问3 你能说明理由吗？

追问4 对于所罗列的角的数量关系可以进行恰当的梳理，需对所有角进行讨论吗？为什么只需对∠1，∠4进行讨论？

追问5 哪些角的数量关系可以用文字语言表示？它们的符号语言呢？

追问6 能否写出判定2完整的证明过程（包括推理依据）？在学习单上用彩笔描出相应的基本图形.

追问7 能否写出判定3完整的证明过程（包括推理依据）？在学习单上用彩笔描出相应的基本图形.

追问8 剩下的角的数量关系与已得到的判定方法之间有什么关系？

追问9 以上的这些判定方法是孤立的吗？

设计意图：独立画图思考，而后再和小范围合作交流，最后是全班展示讨论，这样的过程，达到了思考的高效.在每个学生提出方法时，关注文字语言的概括性、符号语言的规范性，并引导学生进行规范证明，体会三种角（同位角、内错角、同旁内角）的关联性，融通三种判定方法，感受转化的思想;对于角的数量关系的讨论，绝大多数学生是“撞大运”或是从自己熟悉的角出发，这样并不一定能思考全面，教学中应当引导学生先思再找，学会分析问题并注重方法的优化;这当中，也一定会有学生提出“外错角相等，两直线平行”“同旁外角互补，两直线平行”等观点，教学中也无须回避，适时引导学生认识到“外错角相等”等价于“内错角相等”“同旁外角互补”等价于“同旁内角互补”，故而在公理化体系中可以简省.

3.小 结

（1）辅助线的闪亮登场不是凭空而降的，它并不是高不可攀，是以前解決问题的经验（数量关系与位置关系的转化）的迁移、未知到已知的转化.

（2）从角度的数量可以得位置，是否可以从线的数量得位置，等到八年级我们将继续研究.

4.课堂练习

例1 请在图中添加一对角的平分线及角的数量关系使直线AB∥CD.

设计意图：平行线判定方法的直接应用，并把前面所学的角平分线及垂直相结合.

例2 在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行吗？为什么？

让学生尝试着进行“三段论”的书写.

设计意图：本题是判定1的特殊化，尝试用波利亚的“怎样解题”理论呈现思考过程，让学生体会几何解题的一般思路.用彩笔勾画基本图形.

三、基于教学活动的反思

1.基于学情进行合理的教材整合

苏科版教材对于“平行线的判定”是分成两个课时，判定1一个课时，判定2、3为一个课时.判定1是从同位角出发，而课堂实践中也有学生一开始就从内错角或者同旁内角着手，所以基于学情也可以在教学时做出教材整合的选择.教材是教与学的基本依据和基础载体，是最主要最重要的课程资源，它需要教师去“用”，教师既要尊重教材，又不应拘泥于教材，要对教材进行合理的整合，创造性地使用教材，有效地激活教材知识，真正体现“用教材教”[1].

2.关注学情用已有的知识和经验推动思维的发展

学生有“垂直”的研究经验作基石，不难想到由“数量关系”推得“位置关系”，再加上前一节课“三线八角”的学习也为本节内容打下了知识基础，在研究“平行线的判定”时是可以找到突破口的，本节课的教学实践也得以验证.学生是学习的主体，教师是引导者与组织者，教师需要做的是更好地为主体服务，这就需要教师了解我们的主体，知道他们的“最近发展区”，加以引导，并扩大他们的认知圈，为推动下一步的思维发展打下基础[2].

3.重视基本图形的积累、加强结论证明的书写能力

笔者在本节课中用彩笔反复勾画“三线八角”，同时不断进行几何三种语言的互译，这在几何教学中都是非常重要的.基本图形一般分为两种： 平面几何中的定义、基本事实及定理所对应的图形可以称之为理论型基本图形;重要的例题和习题所对应的图形可以称之为经验型基本图形.前者所对应的图形往往是最基础的基本图形，为此教师必须十分重视，后者往往是由两个或两个以上简单的理论型基本图形组合而成的，是以前者的积累为基石的.所以我们在教学中要不断地帮助学生梳理、提炼基本图形，也可以鼓励学生自己去研究图形，发现平面几何的基本图形，在学生的知识储备中形成更大知识网，建构其自己的图形体系，进而提高其分析问题的效率及学习兴趣.在基本图形的教学中要有意识地训练学生对基本图形结论的“三段论”书写，可称为“几何小定式”，提高他们的书写能力，避免出现几何语言表述的不完整、混乱，真正做到言之有理、落笔有据[3].

几何证明中辅助线的添加在初中数学学习的过程中一直是难点，但“授之以鱼不如授之以渔”，学生一旦掌握了学习方法，将终身受益.掌握了数学学习方法就能把握好数学的本质，学好数学的内容，学习效果就会事半功倍[1].因此，作为一名数学教师，在平常的教学中应教给学生学习的方法，让学生自我发展，掌握分析问题、解决问题的能力，增强数学学习能力，这也是我们教师在教学中所期望的，在今后的教学中笔者将做更多的尝试.

【参考文献】

[1]李燕，杨文君.活化教材，整合内容，让教材“活”起来：以《比的认识》教学为例[J].教育观察（下半月），2015（18）：53，57.

[2]秦晓.例谈初中几何证明中“辅助线的自然生成”[J].数学教学通讯，2019（11）：42-44.

[3]孙莉.浅谈基本图形分析法在几何证明题中的应用：以2018南京中考第20题为例[J].