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基本图形

2015-05-05朱清伟

试题与研究·教学论坛 2015年1期
关键词:基本图形数学解题扶梯

朱清伟

摘 要:数学综合题好比一座大山,一堵高墙,让学生束手无策,如果能找到“登山攀墙”的扶梯,那么再复杂的问题也可以简化。这就要求教师在复习课教学中,利用一些有意义的例题,让学生解一题,会一类,通一片。例如在几何教学中,挖掘一批有意义的基本图形授予学生,那么对于同一类型的题目,学生就能做到驾轻就熟。

关键词:数学解题;基本图形;扶梯;架梯

波利亚有一句名言:“掌握数学就是意味着解题。”而在数学掌握的过程中,综合题好比一座难以逾越的山,一堵高不可攀的墙,让学生望而生畏。因而在数学复习教学中,教师除了梳理基本知识体系外,不能紧接着低效的泛泛解题,应善于以一些不太复杂而又有意义的题目为载体,挖掘其精华进行归纳授予学生,让学生达到学会一例,驾驭一批,如此便为学生找到了“登山攀墙”的扶梯。如在几何的教学中,总结出一批具有广泛的代表性和典型性的图形,我们称之为基本图形。学生若能掌握这些基本图形的本质,就会在解决一些较复杂的题中,辨认或构造该图,并择取有用的信息,迅速找到解题思路和方法,达到高效解题。下面笔者以“三垂足共线图”为例,浅淡它在数学解题中的扶梯之用。

一、扶梯原型

如图,在Rt△ABC中,AC=BC,直角顶点C在DE上,过A,B分别作AD⊥DE,BE⊥DE,根据同角的余角相等,易证△ADC≌△CEB,继而得到全等三角形的对应边相等。

若去掉条件中的“AC=BC”,则可得△ADC∽△CEB,继而得到相似三角形的对应边成比例。

该图的基本特征为点D、点C、点E这三个垂足在同一直线上,即“三垂足共线”时,可推得直角三角形全等或相似,继而得出对应线段的数量关系。笔者把它作为一个基本图形,作为我们解决一些数学问题时的一架扶梯,那么即便是综合性较强的数学问题,我们也能直接扶此梯或间接架此梯而上。

二、扶梯直上

例1(2010·南通)如图,在矩形ABCD中,AB=m(m是大于0的常数),BC=8,E为线段BC上的动点(不与B、C重合)。联结DE,作EF⊥DE,EF与射线BA交于点F,设CE=x,BF=y。

(1)求y关于x的函数关系式;

(2)若y=,要使△DEF为等腰三角形,m的值应为多少?

点拨:(1)由AB⊥CB,DC⊥BC,FE⊥ED,根据点B、E、C三垂足共线,清晰辨认基本图形,由△FBE∽△ECD,得到=,代入即可得到y=。

(2)要使△DEF为等腰三角形只需DE=EF,此时△BEF≌△CDE,则BE=CD=m,此时m=8-x,又根据=,解方程即可得m的值。

点评:本题存在的“三垂足共线图”这架扶梯较为明显,因为三个垂足同时存在且共线,因此结合条件仔细观察图形就能快速辨认,从而根据线段间的数量关系,使问题得以快速解决。可见解决这一类题目,一旦能识图并分离出基本图形,则扶梯直上不是问题。

三、架梯而上

1.浅处架梯

然而,在绝大多数的数学问题中,“三垂足共线图”的存在并非直接,具体往往表现在条件中三垂足的不完整,于是我们需要添一足或添两足成三垂足(添加的辅助线文中用虚线表示),如此架起基本图形这一扶梯,便可使结论得以应用。

例2 (2013·成都)如图,点B在线段AC上,点D、E在AC同侧,∠A=∠C=90°,BD⊥BE,AD=BC。

(1)求证:AC=AD+CE;

(2)若AD=3,CE=5,点P为线段AB上的动点,连接DP,作,交直线于点Q,当点P与A、B两点不重合时,求的值。

点拨:(1)直接存在的A、B、C三垂足共线,证明△ABD≌△CEB可得AB=CE,AD=BC,将已知等式AC=AB+BC等量代换即可;

(2)如图,过Q作QH⊥BC于点H,则△ADP∽△HPQ,△BHQ∽△BCE,

∴=,=;设AP=x,QH=y,则有=

∴BH=,PH=+5-x∴=,即(x-5)(3y-5x)=0

又∵P不与A、B重合,∴3y-5x=0∴===

两次应用相似三角形的对应边成比例是解决题(2)的关键,而第二次相似正是通过作垂线添一足成三垂足共线。

例3 (2013·浙江·舟山)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=(x-m)2-m2+m的顶点为A,与y轴的交点为B,联结AB,AC⊥AB,

交y轴于点C,延长CA到点D,使AD=AC,联结BD。

作AE∥x轴,DE∥y轴,求DE的长。

点拨:易证△AFC≌△AED得AF=AE,通过延长EA交y轴于点F,构造F、A、E三垂足共线,由△ABF∽△DAE得=,根据抛物线的解析式,用含字母的代数式表示比例式中的线段,代入化简即可求得DE=4。

例4 (2013·山东·威海)如图,在平面直角坐标系中,∠AOB=90°,∠OAB=30°,反比例函数y1=的图象经过点A,反比例函数y2=的图象经过点B,则下列关于m,n的关系正确的是( )

A.m=-3n B.m=-n

C.m=-n D.m=n

点拨:过点B作BE⊥x轴于点E,过点A作AF⊥x轴于点F,添加垂足E、F则使E、O、F三垂足共线,由△BOE∽△OAF得,设点B的坐标为(a,),点A的坐标为(b,),结合两点坐标得出线段OE、BE、OF、AF的长度表达式,代入上述比例式即可求出m=-3n。

本题是反比例函数的综合,构造基本图形得出相似三角形的性质不可或缺。

点评:例2~例4这些背景下的“三垂足共线图”隐藏得并不深,大部分学生能够想到作垂线让完整的基本图形得以显现。尽管在例5的解题中需要添加两个垂足,但在平面直角坐标系中,向坐标轴作垂线学生很容易想到,因此扶梯的架起并不困难。

2.深处架梯

“三垂足共线图”不完整存在的例子比比皆是,而有些的存在却是极不明显的,需要我们搜索脑中已有的基本图形,并结合已知条件的特征摸索着去架梯,由此及彼使得结论得以活用。

例5 如图,以△ABC的AB、AC为边向外作正方形ABDE及ACGF,作AN⊥BC于点N,延长NA交EF于M点,求证:EM=MF。

点拨:若从结论出发采用分析法,基本毫无头绪,采用综合法从条件出发,试图探索其中的基本图形,不难发现在直线MN的左右两侧各有“三垂足共线”中的双垂足,因此我们可在两侧各添一足,如图作垂线便得到了两个基本图形,可得EP=AN=FQ,于是把条件靠向了△EPM和△FQM,再证这两个三角形全等即可。

例6 (2011·宁波)如图,正方形A1B1P1P2的顶点P1、P2在反比例函数y=(x>0)的图象上,顶点A1、B1分别在x轴、y轴的正半轴上,再在其右侧作正方形P2P3A2B2,顶点P3在反比例函数y=(x>0)的图象上,顶点A2在x轴的正半轴上,则点P3的坐标为________.

点拨:如图虚线添加辅助线,根据基本图形及方程思想先求P2坐标,再用类似方法求得P3坐标。本题难度较大,关键在于三次对基本图形的构造再应用,为求曲线上的点坐标提供了线段相等的数量关系,从而可以列方程求解。通过对基本图形的特征研究,形成把函数问题转化为方程问题的思路,建立起了几何与代数的联系。

点评:例5~例6的难点在于需要多次架梯——对基本图形的结论一用再用,因此辅助线的添加较为复杂。然而善于观察,仔细剖析已知图形,就能确定添加辅助线的方向。只要明确已知条件是什么,确定解决问题还需要哪些,缺什么则补什么,如此便可柳暗花明。

尽管上述案例有些是熟题,但我们仍然能在2013年各地的中考题中追寻到它的影子,可见“三垂足共线图”这一扶梯在几何及代数解题中的重要性,倘若学生能将它“吃”透,那么再高不可攀的题型也能轻松架梯快速得以解决。

四、总评扶梯

1.扶梯的形成

“三垂足共线图”——三个直角顶点位于一线,如此简单的组合,构成了本文的扶梯。平时,学生熟悉的最基本的图形有点、线、角、三角形、四边形、扇形、圆等,而以此为基础,进行组合、变形、引申就会有一批新的具有代表性的基本图形出现。教学中,教师应有意识地进行归类总结,将一些重要的、常用的一般图形化为基本图形,并让学生历经基本图形的形成、证明以及应用。

2.扶梯的积累

把让学生掌握一些重要的图形作为教学任务,贯穿在整个数学教学、学习的始终,有意识地强化对基本图形的巧用,不断地运用这些基本图形去分析问题,解决问题,这也是数学教学中所关注的目标。学生数学能力的培养,是一个长期的,不断积累经验与深化的过程,教学中教师也可尝试作一次次关于基本图形的旅程,让简单的图形丰富起来,而又不至于难以攀登。积累基本图形解决数学问题,犹如写作文前积累好词好句。

3.扶梯的意义

解决数学综合题的基本策略就是把它分解为一系列的基础题,从复杂的背景图中分解出一系列的基本图形,将问题易化。所以说,基本图形的应用贯穿于初中几何教学的各部分,也建立起几何与代数的联系,它可以成为解题教学中的易化通道。如果学生脑中有丰富的待用基本图形,那么只要轻松做参考,轻松做移植,解题思路便会豁然开朗,即便是新的“陌生情景”,我们也有了解决它的逻辑起点与推理目标,依然可以顺利进入思路探求。

波利亚曾这样写道:“去设计并解出一个合适的辅助问题,从而用它求得一条通向一个表面上看来很难接近的问题的通道,这是一个最富有特色的一类智力活动。”而基本图形就起到了这种通道、扶梯的妙用。

参考文献:

1.史宁中.义务教育数学课程标准(2011年版)[M].北京:北京师范大学出版社,2012,94-95.

2.蔡荣.浅谈基本图形在初中几何教学中的重要应用.2009.

3.钱卫华.基本图形在竞赛中的应用[J].中等数学,2011(06).

(作者单位:浙江省江山市城北中学)

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