《函数的最大（小）值与导数》教学案例

梁必文

一、案例简介

该教学案例是针对人教版《高中数学》选修2-2第29页—第31页“函数的最大（小）值与导数”展开教学的。此内容学习了函数的单调性、函數的极大（小）值与导数的基础上的思维发展。函数的最值是研究函数的目的和意义所在。通过本节案例，学习和掌握导数在研究函数中的应用方法，并与之前研究函数的最值方法进行比较，体会导数在研究函数最值中的优越性。该内容是选修2-2第一章导数及其应用的重头戏，是研究导数的目标之一，教学的意义不言而喻。

二、教学设计

结合前一小节有关函数极大（小）值中的具体例子，比较不同类型函数的图像特点，区分极值与最值的区别，归纳得出利用导数求函数最值的思路：只要把函数y=f（x）的所有极值连同端点的函数值进行比较，就可以求出函数的最大（小）值。最后总结归纳求函数f（x）在[a，b]上的最大值和最小值的步骤和注意问题。

三、教学实施

（一）知识回顾

1.极值的判定

2.求可导函数f（x）的极值点和极值的步骤

（1）确定函数的定义域;（2）求出导数f'（x）;（3）令f'（x）=0，解方程;（4）列表：把定义域划分为若干区间，考察每个部分区间内f'（x）的符号，判断f（x）的单调性从而确定极值点;（5）下结论，写出极值。

3.引出最大值和最小值的概念

（二）新课探究

2.比较极值和最值的区别与联系

（三）典例分析

1.判断下列命题的真假

（1）函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个（   ）

（2）最大值一定是极大值（    ）

（3）最大值一定大于极小值（   ）

（4）函数的最大值一定是函数的极大值（   ）

（5）开区间上的单调连续函数无最值（   ）

（6）函数f（x）在[a，b]上的最大值和最小值一定在两个端点处取得（   ）

答案：（1）对（2）错（3）对（4）错（5）对（6）错

2.求函数在[0，3]上的最大值和最小值

回顾上一节课求函数极值的过程，得出求给定区间函数的最值的思路和方法，并比较两者的异同。

（四）练习巩固

求下列函数在给定区间上的最大值与最小值

（五）课堂小结

四、教学效果与反思

通过本节课的线上教学，学生在巩固之前求函数的极值方法基础上，区别了函数的极值和最值，并学习和掌握了导数在研究函数中的应用方法，体会到了导数在研究函数最值中的优越性。但线上教学因客观原因，留给学生练习的机会不多，下一步要多拓宽思路，积极寻找线上教学师生互动方法，以便给学生提供更多的训练平台。