基本不等式的应用

葛怡彤

摘  要：基本不等式选自于普通高中教科书（人教A版）必修一第二章内容，它不仅是不等式这一章的核心，而且在高中数学教材中占据重要的地位。在不等式的证明以及利用基本不等式求最值等问题中起到工具性的作用。将基本不等式应用于具体的实际问题中，有效地培养学生数学思维能力，是理论数学与应用数学结合的良好示范。该文以基本不等式中的常见题型为例，探究其常见题型的解题思路。

关键词：基本不等式  工具性作用  常见题型  解题思路

中图分类号： G63                            文献标识码：A文章编号：1672-3791（2020）10（c）-0138-03

Abstract： The basic inequality is selected from the second chapter of compulsory 1 in the general high school textbooks （Teaching A version）. It is not only the core of the inequality chapter， but also occupies an important position in the high school mathematics textbooks. It plays an instrumental role in proving inequality and using basic inequality to calculate the maximum value. It is a good demonstration of the combination of theoretical mathematics and applied mathematics to apply basic inequalities to practical problems and effectively cultivate students' mathematical thinking ability. In this paper， the common types of questions in basic inequalities are taken as examples to explore their solutions.

Key Words： Basic inequality; Instrumental role; Common question types; Ideas of solving a problem

1  问题探究

1.1 基本不等式的地位

不等式在高中数学教材中占据重要的一部分，并且在日常生活中也经常会遇到很多关于不等式的问题，其实可以说不等式贯穿了我们整个高中数学的学习的过程，以及在初中阶段和小学阶段不等式也是学生应该学习和掌握的重点内容，由此可见不等式的重要地位。而不等式中包含着一个重要的组成部分，即基本不等式，它不仅可以使数学问题进行简化，而且也为学生在高中阶段学习其他不等式的知识做铺垫。

1.2 基本不等式成立的条件

“一正二定三相等”是不等式成立的3个基本条件，也是在解决不等式问题中所应用的3个关键性步骤。即”一正二定三相等”是指在使用不等式a+b≥2证明以及求解问题答案时所规定和强调的特殊要求。“一正”是指基本不等式研究的对象都是非负数，这是基本不等式成立的首要条件即基础条件。“二定”是指若a+b为定值时，可以用正向不等式求解ab的最大值;若ab为定值时，可以用反向不等式求解a+b的最小值。“三相等”是指当且仅当a与b相等时，等式成立[1]。

1.3 基本不等式知识解读

基本不等式实质是平方的非负性，包括两种情形：正数和零，后一种情形就是等号成立的条件。也就是说，基本不等式问题“等价”于平方的非负性问题，平方的非负性是基本不等式的内在实质，基本不等式是平方的非负性的外在表现[2]。

两个非负数间的关系可以用基本不等式来加以反映，表示两个正数的算术平均数不小于其几何平均数。上述提到的关系也是基本不等式的外在特性。基本不等式的几何意义是指半径不小于半弦。根据基本不等式的几何意义，通常可以解决一些实际问题，对于最值问题的求解也起到工具性的作用。同时，其他的不等式也可以用基本不等式加以证明。

学生学习基本不等式有助于培养学生的逻辑思维能力，提高分析、总结、概括问题的能力，便于学生形成自己的思维体系和有效对数学知识进行整合，为学生以后的学习奠定基础。

1.4 基本不等式对于提升數学核心素养的意义

学生在学习基本不等式的过程中，学生从基本不等式的实际背景抽象出数学问题，在这个过程中培养了学生数学抽象素养。基本不等式作为不等式的一个重要组成部分，虽然属于代数，但是对于几何领域也有非常重要的作用，充分了体现了数形结合思想，在教学过程中渗透了直观想象素养。对于基本不等式的证明方法，有利于培养学生的逆向思维，提升逻辑推理素养[3]。

1.5 基本不等式常用公式

2  基本不等式中的典型例题

2.1 利用基本不等式求最值

方法总结：求函数最值时，基本不等式起到了重要的作用，但是应用基本不等式求最值时，要注意应用基本不等式的条件，等号是否可以取到。若不满足基本不等式的应用条件，是否能进行转化或求解。若等号取不到，是否可以借助函数图像，利用函数的单调性求解最值。同时选择合理的解题方法，可以简便运算，更好地对问题进行求解[2]。

2.2 证明不等式问题

方法总结：利用基本不等式证明不等式问题时，通常所给的不等式不符合基本不等式的机构，需要通过使用一定的变形或转化，进行适当的改造后才能更有效的应用基本不等式。

2.3 含参数不等式恒成立问题

方法总结：基本不等式中含参数恒成立问题，通常将参数进行分离，然后在利用基本不等式的性质求得其最值，从而得到所求参数的范围[3]。

2.4 应用基本不等式解决实际问题

问题5：如图1所示，某开发商计划将一块三角形地皮ABC中的一角APQ开发做楼盘，已知角A大小为120°，AB和AC的长度不小于200 m，现在边界AP，AQ处建围墙，在PQ处铺路。

已知AP段围墙高1 m，AQ段围墙高1.5 m，造价均为每平方米100元。若围围墙用了20000元，（1）若围墙AP，AQ总长度为200 m，如何围可使得三角形地块APQ的面积最大？（2）已知AP段围墙高1 m，AQ段围墙高1.5 m，造价均为每平方米100元。若围围墙用了20000元，问如何围可使竹篱笆用料最省？

方法总结：将实际问题转化成数学问题，抽象出函数的解析表达式，然后利用基本不等式求出函数的最值，当得到函数的最值时，我们应该在定义域中解决这个问题[4]。

参考文献

[1] 朱占奎，陆贤彬.微专题十七基本不等式的应用[J].中学数学教学参考，2017（1-2）：112-115.

[2] 谢欣宇.高中基本不等式教与学的问题与对策[D].哈尔滨师范大学，2019.

[3] 张伟平.从基本不等式谈中学生对等价思想的理解[J].数学教育学报，2009（2）：83-85.

[4] 徐程.微专题三十基本不等式的应用[J].中学数学教学参考，2018（3）：53-56.

[5] 缪林.基本不等式的应用[J].中学数学教学参考，2019（1-2）：76-80.

[6] 孙玲.基本不等式复习课三部曲[J].中学数学，2019（7）：15-16.