中小学数学抽象的可培养性及教学

黄嘉媛 曹丽华

【摘要】数学抽象作为《普通高中数学课程标准（2017年版）》提出的六大核心素养之首，不应仅在高中阶段予以重视，在义务教育阶段也应予以重视.本文根据已有研究与中小学数学的特点，对数学抽象的可培养性进行分析，提出“数学抽象的层次性是培养抽象能力的基础”“数学的形式化是培养抽象能力的保障”这两个观点.以北师大版教材中的“轴对称图形”为例，分析如何利用数学的层次性与形式化两个特点进行抽象数学概念与命题的教学.

【关键词】数学抽象;层次性;形式化;轴对称图形

在《普通高中数学课程标准（2017年版）》中提出的六大核心素养是数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析.其中，数学抽象的具体表述为：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并用数学语言予以表征.既然要培养中小学学生的数学抽象素养，那么数学抽象的可培养性基础是什么？在课堂中，我们应该如何利用数学抽象的可培养性特点进行教学？

一、数学抽象的重要性

数学的抽象性是数学的三大特征之一.史宁中教授提出：“数学发展所依赖的思想在本质上有三个：抽象、推理、模型，其中抽象是最核心的.”抽象是数学中一种必不可少的思想方法，也是数学发展过程中的一种核心思想.王光明等人通过调查研究了抽象思维能力、逻辑分析能力、关系判断能力对学生学习数学的效率的影响，并得出数学抽象思维能力的影响最大.对于中小学的教师与学生而言，数学抽象是教师进行教学活动和学生开展数学学习活动的基础，是学生学好数学需要具备的一种基本数学素养.数学抽象不仅位于六大核心素养之首，并且逻辑推理、数学建模以及直观想象素养都与数学抽象有关.在义务教育阶段也同样重要，《义务教育数学课程标准（2011年版）》中出现的十个核心词中，数感、符号意识，甚至几何直观与空间想象，都与数学抽象密不可分.抽象素养并非数学学科所独有，物理中的一些概念（如质点）也需要具备一定的抽象能力.同时，数学覆盖了许多学科，在许多学科中均有运用，因此，学生抽象能力的好与坏，对后续的数学学习乃至其他学科的学习都有着重要的影响.

二、数学抽象的可培养性

国内许多学者和一线教师都在探寻培养学生抽象思维能力的策略，却鲜有人对数学抽象的可培養性的原因以及培养数学抽象的基础即“为什么数学抽象是可培养的”这一问题进行分析.本人根据已有文献，对数学抽象的可培养性提出以下观点.

（一）数学的层次性是培养抽象能力的基础

“由感性的、直观的、现实的问题上升为数学抽象，往往需要经历多个层次.”层次性是数学的基本特性，数学知识的形成都需要经过一定的抽象层次.史宁中教授认为，数学的抽象要经历两个阶段，第一阶段是基于现实的，第二阶段是基于逻辑的.数学抽象都是从简单到复杂，由感性到理性的，由此可见，数学抽象也是具有一定的层次性的.学习者的数学学习过程也有一定的层次，弗赖登塔尔提出“学习过程是由各种层次构成的”，不同阶段对应不同的发展水平，是一个渐进的过程.抽象的层次性与学习者认知过程的层次性相对应，学生抽象能力的发展遵循数学抽象的规律，抽象度随着知识的积累、能力的提高不断地上升，有一定的层次性，是可培养的.小学生多以直观感受来获取知识，而中学生可以依靠一定的理性认知.以函数概念为例，从最开始的“变量说”到“对映说”，再到“关系说”，体现了函数概念发展的抽象程度的层次性.在教学中，初中阶段我们大多采用“变量说”，高中阶段采用“对映说”，这与数学概念发展的规律相似.学生对某一概念、命题的抽象是一级一级逐步抽象的，抽象化的程度越高，理解的难度越大，因此抽象的层次是不能跳跃的.随着某一知识点学习的深入，除了抽象的程度在提高，抽象的覆盖面也随之扩大.在这逐渐抽象的过程中，学生在学习概念与命题本身的同时，也会逐渐领悟抽象的本质，这是培养学生抽象能力的主要路径.因此，数学抽象的层次性为数学抽象能力的培养提供了基础.

（二）数学的形式化是培养抽象能力的保障

“数学一被创造出来，它就形成了一种清晰的形式表达.”数学的形式化使得数学学科具有简洁性，因为数学对象的形式化能够为学习者提供简明清晰的形式化语言，且又真实地反映着其所要描述的内容，内容与形式并不分离，形式化只是有助于理解和表达，更好地反映事物的本质.数学的形式化特点推动了数学的发展，可以说如果没有数学的形式化，就没有今天的数学.极限的定义——“ε-δ”语言，就是一种形式化的表达.同时，“数学的研究对象是形式化的思想材料”，可见数学的研究对象源于现实，却是人脑的产物，是一种思辨的结果.它是人们根据现实世界的一些特征，抽象出来的产物，又应用于现实中.例如“负数”的概念，最早是为了保证减法运算结果的封闭性，它是数集扩张的一种形式表达;马克斯·西蒙曾说，创立负数是为了有可能毫无例外地进行减法运算，它的产生使得数集得以扩张，然后又应用于温度的计数等现实事物中.人的思想是具有主观能动性的，它随着人与环境的交互作用而不断变化.数学的形式化就是为了更好地表达数学抽象的产物，它可以把表面复杂的东西变得简单，降低其抽象程度.学习者可以借助易于理解的数学形式，结合自身的主观思考，对数学进行“再创造”，提高自身的抽象概括能力，在这一过程中形成抽象素养.因此，数学抽象的形式化特点以及数学研究对象的特殊性，为学习者数学抽象能力的提高提供了保障.

（三）数学抽象可培养性的实证研究

目前国内的研究较少有研究抽象的可培养性，基本上都是直接给出培养策略，对策略可行性的探讨也比较少.通过查阅国外的文献可知，早期有苏联心理学家达维多夫（Davydov）证实，8至10岁的孩子能够抽象地思考他们所学习的理论模型是否能分析现实问题.加藤（Kato），凯米（Kamii），Ozaki&Nagahiro对3岁到7岁的60名儿童进行访谈，发现儿童的抽象水平与其表征能力有密切的联系.韩国的Jee Yun Hong和Min Kyeong Kim（JM）根据前人提出的抽象水平，重新总结了数学抽象的三个水平，如下：水平一，通过感知抽象识别数学结构;水平二，通过内化运用数学结构;水平三，通过内化形成新的数学结构.根据抽象的这三个层次，JM对韩国小学五年级的学生进行实证研究，得到：位于水平一的学生只能认识到解决该问题需要数学知识和结构，但未能利用数学结构;位于水平二的学生通过引入先前获得的数学知识来解决问题，但他们未能对解决问题的方法做出正确的评估，因此未能解决问题;位于水平三的学生成功解决问题，并且还能够用他们解决问题的方法去评估其他小组的解题过程，提出建议.该研究表明，数学抽象的层次和形式在解决一个结构不良的问题中出现，解决结构不良问题的活动可以为学生提供提高其数学抽象能力的机会.以上的研究表明：（1）学生解决问题的过程反映了其所具有的抽象能力的层次;（2）儿童的抽象能力可以通过学生解决问题的过程进行教授，也就是说，通过解决问题这一活动能够培养儿童的数学抽象能力.

三、利用抽象的可培养性特点进行教学

恩格斯说过：“数学是研究客观世界的数量关系和空间形式的科学.”既然数学研究的是量与形，舍弃了事物质的属性，并且数学是思想的产物，那么数学抽象必然无处不在，它无形地存在于我们每一节数学课之中，所以培养学生的数学抽象能力应该植根于每一节数学课.根据青少年儿童的心理发展规律，数学教学应遵循从具体到抽象再到具体的基本原则，结合数学抽象可培养性，即数学的层次性与形式化特点，在课堂中加强学生的数学抽象实践，培养抽象素养.根据数学抽象对象的性质进行分类，分为从现实中抽象出数学和从数学中抽象出更高层次的数学两类：表征型抽象和原理型抽象.在北师大版教材中，教材编排遵循螺旋式上升原则，“轴对称图形”这一概念分别出现在三年级下册、五年级上册和七年级下册.下面以“轴对称图形”为例，分析如何在教学中，根据数学抽象的可培养性特点，渗透抽象的数学思想，培养学生的这两种抽象能力.

（一）在概念教学中培养学生的表征型抽象能力

“数学抽象概念的发展是具有层次性的”，数学概念的教学也应当遵循数学抽象概念发展的规律.表征型抽象是指对事物外露的表面特征进行抽象，对“轴对称图形”这一概念的习得就是一种表征型抽象的结果.

小学生学习知识主要来源于感性认知，因此，小学生的概念教学要依靠直观展示、具体操作，向学生展示其熟悉的生活背景或数学现实，使他们能够在脑海中形成正确的初步概念意象.教师可以事先准备好具体材料与具体活动.弗赖登塔尔提倡，具体活动可以是折纸、剪纸、画图、测量或拼接等.三年级学生学习“轴对称图形”这一概念时可以依靠折纸、剪纸等实物操作，对轴对称图形这个概念有初步的抽象认识.到五年级，有了前面的基础，并且随着学生抽象能力的逐步发展，可以将“轴对称”的概念扩充到离散的图形中，轴对称不再局限于一个完整的图形.这时候的教学不再依靠剪纸等实物，而是需要学生发挥一定的空间想象能力，可以是给学生一个简单的图形和对称轴，让学生画出另一半图形.这一活动需要学生先在脑海中抽象出原图形的轴对称图形的表象，再将其通过画图的方式表达出来，这比剪紙提高了一个层次，但对于小学生而言，都是“借助操作游戏来演示明显的数学特征”.尽管如此，不同年龄和知识水平的孩子也具有一定的层次.通过两个层次的学习，学生对“轴对称”以及“轴对称图形”的概念形成了初步的表征型抽象结果，虽然未能形成形式化表达，但是已经在脑海中形成了一定的概念意象.

对客体进行分类的过程也是一种抽象，初中生较小学生而言，具有更好的抽象思维能力.有了小学阶段的基础，这时候可以让学生观察轴对称图形的特点，抽象概括轴对称图形的定义（如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫作轴对称图形，这条直线叫作对称轴）.学生对一系列事例的表面特征进行识别、分类等活动，这一过程是在对事物进行表征型抽象，是找出其共同属性，揭示这一类别的本质属性与非本质属性，从而得到一个概念.这一阶段要呈现的例子应该是多样的，有正例与反例，并且正反例中还应有相关属性与无关属性的对比，教师应引导学生对事例的共同性质进行概括，对非共同性质进行区分与排除，在分类与概括中提高学生的抽象水平.教师的作用是帮助学生修改定义，最终对“轴对称图形”加以形式化定义.为防止学生形成错误的概念意象，每一阶段的具体材料的选择都必须符合最后的形式化定义.在此过程中培养学生的抽象概括能力，使学生形成清晰的形式表达，注重一定的形式化.在此之后，还需要在新的情况下运用概念，只有能够熟练运用概念，才算对概念的真正习得.

中小学数学中的许多概念都是抽象的，对于小学生来说，“分数”的概念，对于高中生来说，“集合”的概念等，都是抽象的.因此，在概念教学中培养学生的表征型抽象能力是非常必要的.如果在小学阶段缺乏具体操作，那么后续的学习将难以对其进行抽象，如果过早地加以形式化的表达，将不利于学生想象能力的发展.因此，数学概念教学应该从学生思维及认知特点出发，按照一定的层次，把握抽象的时机，提高学生的表征型抽象能力.

（二）在命题教学中培养学生的原理型抽象能力

数学的抽象除了要抽象出所要研究的对象，还要抽象出这些研究对象之间的关系，这体现了数学抽象的层次性：上一级抽象的形式化结果成为下一级抽象的对象.数学命题学习是指数学公理、定理、法则、公式等内容的学习，其本质就是数学对象之间的关系.命题的复杂程度高于概念，因此，命题的学习是在概念掌握的基础之上，学生要对与命题有关的各个概念有清晰的思维表征，才能推导出命题并深刻地理解命题.原理型抽象就是对事物内在因果关系和规律性联系进行的抽象，它不再是对事物进行分类，而是确定某一对象与其他对象的联系，如运算律的出现和三角形中位线定理的推导都是原理型抽象的结果.

在七年级下册，学生在学习完“轴对称图形”这一概念后，将对其具有的性质进行探讨，探讨图形内部的特征，探讨图形与对称轴的关系（在轴对称图形或两个成轴对称图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等）.这是一个数学命题，这一命题是对图形关系的抽象，是原理型抽象的结果.原理型抽象是对数学关系的发现，而数学活动是发现数学关系最有效的办法.所以，在命题教学中，教师也应该给予学生一定的教学活动.活动分为两个层次，行为的活动和思想的活动.例如，在“轴对称图形的性质”这一节课的教学中，可以让学生先回归到最低层次，即动手操作，作两个成轴对称的图形，也可以是观察轴对称图形，这是行为上的活动;然后，教师通过引导，让学生对所作的轴对称图形或给出的轴对称图形例子进行思考，归纳性质，这是思想上的活动.值得注意的是，行为上的活动一定只是暂时的，必须经过思想上的活动，升华到理性思维，这样学生才是到达了数学的层次，也就是弗赖登塔尔所说的“既要借助直观，但又必须在一定条件下摆脱直观而形成抽象概念”.基于直观经验，行为活动与思维活动相结合，缺一不可，互为补充，从而抽象出对称轴与对称图形之间的关系性质.从具体的素材出发到提出猜想的过程就是一个抽象的过程，在这一过程中，充分发挥学生的主动性，同时，教师应根据教学内容及学生的水平，给予学生足够的自主探究时间，鼓励学生大胆猜想.不同的学生抽象概括能力会有所不同，教师应该给予引导，帮助学生通过自己的探索得出正确的结论，获得一定的成就感.最后，教师应该对性质进行总结，以一定的数学形式展现给学生.

与概念教学相似，命题教学需要有一定的层次性，最终回到形式中，这是提高学生抽象能力的基础与保障.在其他的命题教学中，教师也应该遵循这一逻辑，不将结论强加给学生，而应通过探究的形式，让学生在“做数学”中进行学习，充分发挥想象力.学生有了数学活动的经历，从数学材料中抽象出数学命题，便能更好地理解所学的知识，抓住数学本质，从而掌握原理型抽象的方法，提高抽象能力.

四、小 结

数学抽象是数学发展中重要的思想方法，可以说，没有数学的抽象思维，数学将得不到很好的发展.因此，它也是我们在教学中应该重视培养学生的一种核心素养.培养学生的抽象能力的目的是让学生更好地理解数学中抽象的概念与命题，所以培养学生具有良好的抽象素养，归根结底是为了学好数学.虽说数学的形式化是现代数学的一大特点，但在中小学阶段，也不能过于重视形式，应该实行“适度的形式化原则”，这需要教师把握好形式化的尺度.数学抽象能力是可以通过教学进行培养的，培养学生的抽象能力，应该让学生亲历抽象的过程，而不是直接告诉学生结果.作为授课者，应该厘清每一个概念、命题等数学现实的逻辑发展顺序，厘清教材编排的顺序与用意，并根据青少年儿童的心理发展规律，以抽象的层次性与数学的形式化特点为基础，把握抽象时机，实施教学.能力的培养是一个长期的过程，教师应该把它渗透到每一节数学课，在课堂中适时安排学生的数学抽象实践活动，逐渐提高学生的数学抽象能力，形成抽象素养.

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