含三次项类Chen系统的级联及其随机数发生器设计

袁泽世，臧 飞

(中国电子科技集团公司第二十八研究所，江苏南京210000)

自1963年气象学家Lorzen首次揭示混沌运动以来，混沌现象在各领域得到广泛关注与应用。常见的典型混沌系统包括Lorenz系统[1]、Rössler系统[2]、Chen系统[3]、Lü系统[4]等，其中一些系统之间存在着某种联系，例如：Chen系统是在Lorenz系统的基础上，采用工程反馈控制方法构造而来的；Lü系统建立了Lorenz系统与Chen系统联系的桥梁。研究新混沌系统的方法可大致分为三类：对自然界中某种现象进行模型提取；对现有系统进行改进；基于计算机的大规模搜索。第一类方法，最典型的是提取大气运动模型的Lorenz系统。多数新混沌系统的提出基于第二类方法，例如：Zhang等在Chen系统的基础上，对第一个状态方程进行改造，加入一个可变系数的乘积项，构造一个新的三维自治混沌系统[5]；Li 等[6]参考Chen 系统和Lü 系统的构建模式，对Lorenz系统进行改造；包伯成等[7]将蔡氏混沌电路中的蔡氏二极管替代为忆阻器，实现了基于忆阻器的混沌振荡电路；袁泽世等[8]通过在Chen 系统中引入可变系数的乘积项和平方项，构造类Chen 混沌系统。第三类方法的典型代表是Sprott团队，他们利用大规模计算机仿真搜索的方法，揭示了19个不同的简单混沌系统流型[9]。通过类似的搜索方法，Li等[10]和Yuan等[11]也发现并研究了新混沌系统。

构造基于混沌的随机数发生器是混沌系统的重要应用之一。Bernstein等[12]首次提出基于一阶数字锁相环混沌电路产生安全随机数的方法；Koyuncu等[13]提出一种基于Sprott 94G混沌系统的真随机数发生器，并采用异或运算的后处理方法进一步优化输出序列性能；Cicek等[14]将斜交Tent映射作为案例，提出一种基于离散时间混沌的真随机数发生器，并使用真随机数发生器的数学模型得到最大化随机性的最佳参数值；Teh等[15]设计一种利用图形处理器(graphics processing unit，GPU)计算的混沌映射作为熵源的真随机数发生器，并使用基于加法和异或计算的后处理实现无偏输出。Yuan等[16]针对数字系统的有限精度效应问题，提出将数字系统与少量模拟器件相结合的数模混合系统的实现方法，完成混沌随机数发生器的设计和实现。文中将基于第二类混沌系统的研究方法，通过对类Chen系统进行改进，提出不同于文献[8]中类Chen系统的一种含三次项的类Chen系统；将两个类Chen系统级联，基于级联系统构造混沌方法随机数发生器，生成的随机数序列能够通过NIST检验标准，达到实际应用水平。

1 系统模型和动力学分析

构造的含三次项的类Chen系统模型方程如式(1)，与文献[8]中类Chen系统相比，其最大的特点在于第一个状态方程中引入三次方项，该项会对系统产生重要影响。

式中：a,b,c,d ∈R，为可变系数。当a=30，b=5，c=18，d=9，初值(x0,y0,z0)=(0.5,0,0.01)时，可计算出系统的3 个Lyapunov 指数L1=1.181 2，L2=0，L3=-18.186 2 及Lyapunov 维数DL=2.065 2。Lyapunov 指数与分数维数表明系统处于混沌状态。图1为参数a=30，b=5，c=18，d=9，初值为(x0,y0,z0)=(0.5,0,0.01)时，本文新系统典型的混沌吸引子。

图1 新系统的吸引子Fig.1 Attractors of the new system

可用Poincaré截面图观察系统的混沌动力学特性。Poincaré 截面的选择应遵循不包含系统的轨线、不与轨线相切的原则。图2 为相同参数、截面z=2 时，新系统的Poincaré 截面。由图2 可看出，截面有明显的分形结构密集点，吸引子的叶片清晰可见，验证了新系统的混沌特性。

图2 系统Poincaré截面Fig.2 Poincaré cross section of the system

对式(1)进行坐标变换(x,y,z)→(-x, -y,z)可发现，所得系统与式(1)系统相同，即系统关于z 轴对称。系统耗散性计算如下

式中V 为相体积。当∇V=-(a+b-c)＜0 时，系统是耗散的。当参数a=30，b=5，c=18，d=9 时，满足(a+b-c)＞0，系统的状态变化有界。

令式(1)右边为0，得到系统平衡状态方程为：

取参数a=30，b=5，c=18，d=9，解式(3)得到系统共有7个平衡点，分别为：

Chen 系统有3 平衡点：(0,0,0)，( ( -b(a-2c))(1/2)，(-b(a-2c))(1/2),2c-a )和(-(-b(a-2c))(1/2)，(- b(a-2c))(1/2),2c-a )，文献[8]中类Chen系统有5个平衡点。与Chen系统和文献[8]中类Chen系统相比，本文新系统平衡点个数更多、结构更复杂。由于引入三次方项，导致4组平衡点S3,4和S5,6只是在符号上不同。

将系统在平衡点S0处线性化，得到其雅克比矩阵为

其特征方程为 ||λI-J0=0，求出特征根λ1=18，λ2=-30，λ3=-5。λ2,λ3为负实数，λ1为正实数，故平衡点S0为 不 稳 定 鞍 点。同 理 可 求 出：平 衡 点S1，S2的 特 征 根λ1=9.653 3+17.905 2i，λ2=9.653 3-17.905 2i，λ3=-14.219 2；平衡点S3，S4的特征根λ1=-87.36-232.62i，λ2=-39.33+2.07i，λ3=-9.35+6.97i；平衡点S5，S6的特征根λ1=-87.36+232.62i，λ2=-39.33-2.07i，λ3=-9.35-6.97i。

新系统对应参数的分岔图与Lyapunov指数谱如图3。为便于观察Lyapunov指数谱的情况，舍去最小的Lyapunov 指数，观察其余两个指数。由图3 可看出，分岔图与Lyapunov 指数谱图呈清晰对应关系，即最大Lyapunov指数大于0、次大Lyapunov指数等于0时，系统分岔图呈混沌状态。

2 随机数发生器的设计

2.1 系统级联

为增强系统的随机性，将利用文献[8]中类Chen 系统与新系统构建级联系统，采取的级联方法如图4。利用文献[8]中类Chen系统，生成一组种子混沌序列；利用此序列，按照一定的规律扰动本文新系统，得到中间混沌序列；经过适当的后处理过程，即可得到级联系统最终的输出混沌序列。对于新系统，可针对初始值和参数值分别扰动，也可同时进行扰动。扰动参数值的选取结合图3所示的系统分岔图，确保级联系统处于混沌状态，从而保证输出序列的随机性。

图3 系统的分岔图与Lyapunov指数谱对应图Fig.3 Bifurcation,Lyapunov exponent spectrum of the system

图4 级联系统示意图Fig.4 Schematic diagram of the cascaded system

2.2 后处理方法

基于时延和小数点后元素提取的后处理方法为两种典型的后处理方法。基于时延后处理方法的级联系统示意图如图5。将中间序列进行适当量化，得到一组只含“0”和“1”元素的二进制序列；对二进制序列进行适当时延，再将其与未时延的原始序列进行异或运算，得到最终输出的混沌序列。

图5 基于时延后处理方法的级联系统示意图Fig.5 Schematic diagram of the cascaded system with time delay post-processing method

基于小数点后元素提取后处理方法构成的级联系统示意图如图6。得到中间混沌序列，先不将序列进行二进制量化，而是将序列的每个元素取出小数点后第N(N为自然数)位，随后逐位进行奇偶判断。若该位数字为奇数，则量化为元素“1”，否则量化为元素“0”。将得到的一系列“0”和“1”元素按照一定顺序排列组合，得到最终输出的混沌序列。

图6 基于元素提取后处理方法的级联系统示意图Fig.6 Schematic diagram of the cascaded system with extracted element post-processing method

2.3 随机数性能的检验

为验证所得随机数能否满足实际应用的要求，采用由美国国家标准与技术研究院(national institute of standards technology，NIST)提出的NIST检验套件[17]。NIST检验套件由15项检验组成，用于衡量由基于硬件或软件的加密随机数或伪随机数发生器生成的(任意长的)二进制序列在特定方面的随机性能。将每项检验计算出的P值作为判断对零假设相关强度的依据。若P=1，则序列近似具完美的随机性；若P=0，则序列几乎完全是非随机的。最终将P 值与先验的显著性水平(α=0.01)进行比较，若P ≥α，则接受零假设，即序列是随机的；若P ＜α，则拒绝零假设，即序列是非随机的。表1为本文设计的随机数发生器产生长度为109随机数序列的NIST检验结果。

表1 级联系统随机数发生器生成的随机数NIST测试结果Tab.1 NIST results of random numbers produced by cascaded-system random number generator

将长序列分为1 000 个子序列，每组序列长度M=106，此时置信区间为(0.980 56, 0.999 44)，即在满足P ≥α 的基础上，通过率处于置信区间内，认为序列通过该项检验[17]。从表1可看出，级联系统产生的随机数序列通过了15项NIST检验，证明设计的随机数发生器可产生满足随机性能要求的、具有实用价值的随机数序列。

3 结 论

基于已有的类Chen系统，通过引入三次项构造一种新的类Chen系统。利用两种类Chen系统构造级联系统，设计基于混沌方法的随机数发生器。通过动力学分析发现，含三次项的类Chen 系统具理想的最大Lyapunov指数，具更多的平衡点及更复杂的结构，是文献[16]中含三次项三维混沌系统的一种典型情况；设计的随机数发生器产生的随机数序列通过了15项NIST检验，该随机数发生器可产生满足随机性能要求的、具有实用价值的随机数序列，其可运用在安全通信、随机数发生器与雷达波形设计等方面。