关注“生长力”的概念教学——以“倍的认识”教学为例

□沈建芳

在小学数学概念中，“倍”是一个抽象而重要的概念。理解和掌握“倍”的概念，有利于学生解决生活中的一些实际问题，也可以为后续学习分数、比例等知识奠定基础。在学习本课之前，学生有怎样的知识经验基础？如何突破概念的灌输式教学？怎样让学生亲历概念的形成过程？学生的“生长力”在哪？带着这些思考，笔者展开了研究。

一、课前调研

为了了解学生是否知道“倍”是表示两个量之间的关系，笔者进行了前测。前测单如图1所示。

图1

调查发现，第①题，有95.6%的学生认为自己在生活中是认识“倍”的，但在表述心中的“倍”时，有22.2%的学生能用“谁是谁的几倍”的句式；有11.1%的学生能用“谁是多少，谁是多少，谁就是谁的几倍”的句式；其余学生的表述不是很清晰，有些甚至是错误的。第②题，受相差关系的影响，有26.7%的学生认为橘子比苹果多6倍。第③题，有26.7%的学生把长方形是三角形的4倍理解成长方形比三角形多4个，所以画了6个长方形，有17.8%的学生画了4个长方形。

二、解读教材

前测结果表明，学生对“倍”的概念或没有太多的认知和感受，或模糊不清。学生学习“倍”要经历认知结构上的转变，从原先两个量之间的“差比”结构转变为“倍比”结构。如何改变学生原有的认知，优化“倍”的教学，笔者从解读教材入手，选取了北师大版、人教版、苏教版、浙教版教材，进行分析比较。

（一）四个版本教材编排情况

北师大版教材以“快乐的动物”为情境，抓住动物数量之间的比较，通过画一画、圈一圈、认一认、填一填等活动，把3只小猴圈在一起看作1份，小鸭有6只，可以圈2份,用除法表示6÷3=2，6里面有2个3，就说小鸭的只数是小猴的2倍。

苏教版教材以“小朋友数花”为情境，通过问题“你能比一比这三种花的朵数吗”展开教学。教材先呈现学生以前学过的“比多比少”的方法，接着通过圈一圈，用“倍比”的方法进行比较，得出黄花是蓝花的3倍。

人教版教材以“小兔子数萝卜”为情境，先数一数，接着圈一圈，把2根胡萝卜看作1份，红萝卜可以圈这样的3份，红萝卜的根数里包含3个2，就说红萝卜是胡萝卜的3倍；白萝卜可以圈这样的5份，白萝卜的根数里包含5个2，就说白萝卜是胡萝卜的5倍。

浙教版教材以“游艺室里挂气球”为情境，把2个红气球看作1份，蓝气球有这样的3份，就说蓝气球的个数是红气球的3倍。接着通过挂气球的个数变化来呈现“标准量”“比较量”“倍数”之间变与不变的关系。

（二）四个版本教材编排异同

比较这四个版本教材编排的异同，笔者发现，四个版本的教材都没有直接给“倍”下定义，都是创设具体的情境，通过数一数、圈一圈等操作活动将新知嫁接在原先“几个几”和“份数”的理解基础上，帮助学生建构“倍”的含义。不同之处在于北师大版教材将“倍”与除法相联系，除法不仅可以表示平均分问题，还可以表示两个数量之间的“倍”数关系；苏教版教材呈现了两种比较的方法，让学生对两个数量的比较的认知从原先的“差比”过渡到“倍比”。人教版和浙教版都没有呈现差比关系，都是在“几个几”和“份数”的认知基础上让学生理解“倍”的含义，对“倍”表示两个量的比较关系体现不够。浙教版通过挂气球的个数变化，呈现了“标准量”“比较量”“倍数”之间的变化关系。

三、重构课堂

笔者根据各版本教材的特点，重新设计了教学方案。

（一）经验入手，引入“倍”的学习

教学中要关注学生已有的生活经验和知识经验。学习本节课之前，学生对“倍”不是一无所知，教师在课前可以通过谈话的形式了解学生已知的“倍”。另外，学生对“倍”的学习也要建立在原有的知识经验基础上，在与“差比”关系的认知冲突中，引出“倍比”关系。

【教学片段1】

师：大家听说过“倍”吗？说说你心中认识的倍。

生：我妈妈叫我加倍学习，期末给我奖励。

生：我在电视上看到“产值翻倍增长”，倍就是很多的意思。

生：爸爸的年龄是我的4倍。

师：你能解释一下这句话的意思吗？

生：爸爸的年龄比我大4倍。

……

师：刚才同学们都列举了生活中自己所理解的“倍”，那数学中的“倍”又是怎样的呢？

【教学片段2】

师：湖边来了一群可爱的小动物（屏幕呈现），有多少小动物呢？请你数一数。（生说师板书）

师：谁来比一比小松鼠和小鸡的只数？

生：小鸡比小松鼠多6只。

生：小松鼠比小鸡少6只。

师：是的，我们在二年级时学过比多比少，知道可以用比多比少的方法对两个量进行比较。还可以用其他的方法进行比较吗？（学生沉默）

师（提示）：我们还可以用倍的方法进行比较。今天这节课，咱们就一起来研究有关“倍”的知识。（板书课题：“倍”的认识）

（二）操作感悟，建构“倍”的模型

本节课是学生第一次学习“倍”，也是认知上的一次改变。所以，教学要借助“比一比，说一说”“圈一圈，填一填”“想一想，摆一摆”等操作活动，让抽象的“倍”在具体的活动中变得形象可感，使学生通过活动建构“倍”的模型。

1.比一比，说一说

语言是思维的外壳，通过具体的例子让学生用语言表述“倍”的概念，对“倍”有一个初步的感知。

【教学片段3】

师：如果把3只松鼠看作1一份，小鸡可以分成这样的几份？

生：小鸡可以平均分成3份。

师：小鸡只数有小松鼠这样的几份？

生：小鸡只数有小松鼠这样的3份。

师：所以我们说，小鸡只数是小松鼠的3倍。

师：谁能像老师刚才说的一样再来说一说？

……

2.圈一圈，填一填

通过“圈一圈，填一填”活动，学生明确了“以谁为标准”，建立1倍数的概念，形象地感知“几份数”，理解“一个数包含几个几，这个数就是另一个数的几倍”。学生通过具体活动，理解了“倍”的本质内涵。

【教学片段4】

问：小猴的只数是孔雀的几倍？（练后反馈）

师：把谁看作1份？

生：把2只孔雀看作1份。

师：小猴的只数是孔雀的几倍？

生：小猴的只数是孔雀的3倍。

师：你是怎么想的？

生：小猴有6只，2个是1倍，6里面有3个2，所以小猴是孔雀的3倍。

师板书：6里面有3个2，所以6是2的3倍。

……

3.想一想，摆一摆

教师通过创设四次摆卡片活动，使学生明白确定标准量1份数的重要性。在摆一摆中，学生感知到1倍数、几倍数、倍数三者之间变与不变的关系，对“倍”有了一个完整的认知。

【教学片段5】

师：调皮的小动物们欢快地嬉戏着，小鸭子和小猴子陆陆续续地来了一只又一只，老师将他们的只数用表格做了记录。请你用学具摆一摆，每一次猴子的只数是鸭子的几倍？

反馈交流：

师：观察上下两行鸭子和猴子的数量以及它们之间的倍数关系，想一想什么变了，什么没变。请你任意选择两行比一比。可以跟同桌交流一下。

（1）师：谁先来说说想法？

生：第1次和第2次，鸭子只数没变，猴子只数变了，倍数变了。

师追问：鸭子只数没变，为什么倍数会变了呢？

生：因为第1次的6里面包含3个2，第2次的8里面包含4个2，所以它们的倍数不一样。

生：虽然鸭子的数量没变，但是猴子的只数变了，所以倍数就变了。

……

师小结：是的，1倍数不变，但是与1倍数比较的这个数量变了，所以倍数也就变了。

（2）师：谁还有不同的发现？

生：第2次和第3次，鸭子只数变了，猴子只数没变，倍数变了。

师追问：刚才与1倍数比较的猴子数量变了，所以倍数变了，现在猴子数量没变，为什么倍数也变了呢？

生：因为把鸭子看作1份，这个1倍数变了。

师：是的，我们还发现1倍数增加了，倍数反而减少了。谁能解释一下这个奇怪的现象？

生：因为第2次把2只鸭子看作1份，8只猴子里面包含4个2，而第3次把4只鸭子看作1份，8只猴子里面只包含2个4，所以倍数变少了。

……

师小结:是的，同学们说得都非常好。虽然与鸭子比较的猴子的数量没变，但1倍数鸭子的数量变了，所以倍数就变了。

（3）师：再仔细看看第3次和第4次，鸭子和猴子的数量都变了，倍数为什么不变呢？

生：因为8是4的2倍，12也是6的2倍。

生：猴子和鸭子的数量变了，但是猴子包含鸭子的份数没变，所以还是2倍。

生：这个倍数跟猴子和鸭子数量的多少没有关系，要看猴子只数里面包含几个鸭子的只数。

……

师小结：倍数跟两个数量的多少没有直接关系，而是要看一个量里面包含几个另一个量，谁就是谁的几倍。

（三）巩固提升，深入“倍”的内涵

概念教学中，教师要帮助学生区分概念的内涵与外延，以及与之相关联的概念的联系与区别，只有这样学生才能在头脑中清晰概念。“差比”和“倍比”，是两个不同的知识结构，通过比较练习，学生明白“差比”结果是一个具体的量，而“倍比”结果表示的是两个量之间的一种关系。

【教学片段6】

师：通过比一比，我们发现两题相差的个数一样吗？

生：不一样，第①题相差3个，第②题相差4个。

师：两题相差的个数不一样，倍数为什么都是2呢？

生：因为把圆形看作1份，三角形都是圆形的2份。

师：这个倍数跟相差的个数有关系吗？

生：倍数跟相差的个数没有关系。

师：这个2表示什么意思？跟3和4表示的意义又有什么区别呢？

生：2表示三角形有圆形的2份，表示的是份数。

生：2表示的是2份，3和4表示的是相差的个数。

师：是的，这个2只是表示三角形和圆形的关系，是2倍的关系，它不表示确切的个数；而3和4表示的是相差数，是确切的数。

（四）质疑问难，解析“倍”的疑惑

思源于疑，疑问是开启思维的源泉，教师要培养学生质疑的好习惯。课末，教师创设了让学生质疑的环节，学生通过质疑、分析、思考解决问题，从而加深对“倍”的理解。

【教学片段7】

师：通过今天的学习，你们对“倍”还有什么疑问吗？

生：老师，12是4的3倍，能倒过来说4是12的3倍吗？

生：4小一些，怎么可能是12的3倍呢？

生：我知道，倒过来的话应该说，4比12少3倍。

生：不对，倒过来的话应该说4比12少2倍。

师：同学们刚才说的对不对呢？接下来请你拿出笔和纸圈一圈、画一画，看看有什么发现。把你的发现和同桌进行交流。

……

生：老师，我发现反过来的话把12个三角形看作1倍，4个圆就不够1倍了。

生：我发现，谁是谁的几倍，不能反过来说。

生：我发现小数不能说是大数的几倍。

师：那小数如何表示和大数的关系呢？在后续的分数学习中，咱们会进一步探究这个问题。

四、提炼反思——关注“生长力”

具有“生长力”的概念教学，应以学生的发展为本，立足起点根基，设计合理的教学活动，让学生在自主学习、共同探究、互教互学中建构概念。

（一）经验为“根”——立足概念教学“生长”的“根基”

在概念教学中教师应准确分析学生已有的生活知识经验，为概念教学找准起点。

“倍”是生活中的一个常用概念，学生接触过，但是对概念的理解是模糊的。如何将“生活中的倍”转化为“数学中的倍”是本节课的教学重点。“倍的认识”是在学生认识平均分与除法意义的基础上进行的，“倍”表示两个数量间的比较关系，是从“比绝对数量”到“比相对数量”的转变。因此，教师将教学建立在学生已有的“差比”关系的基础上，引出“倍比”关系，把新知“嫁接”在原有知识经验基础上。

（二）活动为“线”——经历概念教学“生长”的“阶梯”

概念教学要关注概念的实际背景以及概念形成的思维过程。抽象的数学概念的形成可以借助有形的数学活动，通过活动铺就概念与学生思维的通道，帮助学生有效建立概念。学生掌握概念的过程也是一个不断发展的过程，往往经历几个阶段。

1.建立概念的表象

概念的表象是指对概念具有鲜明形象的感知，将头脑中的概念经过外部信息进行转化，是对概念进行知识表征的过程。“倍”表示的是两个量之间的关系，虽然学生在生活中对“倍”有初步的感知，但无法用准确的语言描述什么是“倍”。所以教师创设了动物乐园的情境，通过具体的例子表征“倍”的含义。让学生在具体的情境中，结合实例说一说，用语言表征“倍”的含义，在头脑中建立“倍”的表象。

2.抽象概念的本质

概念是事物本质属性的反映。概念的形成是一个从具体到抽象概括的思维活动，教师可在学生通过感知获得概念表象的基础上，引导学生进行分析、综合、概括，从具体到抽象逐步探寻概念的本质。在“倍”的概念教学中，笔者通过创设“比一比，说一说”“圈一圈，填一填”“想一想，摆一摆”的操作活动，让学生多感官参与活动，在探究知识的活动中积累活动经验，抽象出“倍”的本质。

学生在“想一想，摆一摆”四个层面的操作活动中积累经验，确定比的标准，建立“1份”的概念，明确“倍”与“份数”之间的联系；接着，学生想一想，从“直观体验”过渡到“抽象思维”，挖掘“倍”的本质，理解“一个数包含几个几”就是“一个数是另一个数的几倍”，明确“倍”隐藏着“包含”的关系，达到对“倍”的本质的理解。

3.厘清概念的知识结构

数学概念的抽象性与小学生思维的具象性，要求教师在概念教学中不能孤立地讲解概念，要将概念与实例相结合，借助实例让学生形象地感知概念的本质特征，从而厘清概念的知识结构。

教材用谁是谁的几倍这种结构化的语句来表征“倍”的概念，突出两个数量相互比较，把其中较小的量看作1份作为标准，另一个量里面包含这样的几份就是几倍。只要1份的数确定了，另一个量有几份就是几倍。由此可知，这个1份数标准量在“倍”的认识中起着关键作用。教师在教学时要帮助学生厘清“倍”的结构关系，1倍数、倍数、几倍数，尤其要建立1倍数的概念。

4.辨析概念间的关系

教师将概念之间的关系分为相关联关系和不相关联关系，也可称为异同关系。辨析概念间的异同关系，可以避免混淆概念，有利于学生对概念的正确理解与建构，以及运用概念正确分析、判断与解决问题。

通过练习，学生知道两个量进行比较的时候，可以用相差关系进行比较，也可以用倍比关系进行比较，但它们表示的意义不一样。学生进一步明确“倍”的实质意义，“倍”表示的只是一种倍比关系，跟表示相差关系是有区别的，“倍数”是相对量，而不是绝对量。

（三）留白为“缺”——留给学生“生长”的“空间”

教师在课堂的最后可以留一个“缺口”，让学生有思考、讨论、交流、质疑问难的时间与空间，让学生能够循着这个“缺口”持续“生长”。

面对学生提出的问题，笔者没有直接回答对或者不对，而是留给学生一个思维的“缺口”，让学生自己画图思考、讨论交流。学生继而发现了一些“倍”的相关知识。以大数作为1倍，小数是不够1倍的，所以小数不能说是大数的几倍，这时怎么办？还能用“倍”来比较两者的关系吗？不能比了，又该怎样表示呢？为后续学习分数留下悬念。

“生长”的概念教学，是师生和谐发展的课堂，它以学生的经验为根，让学生在探究概念的过程中不断“生长”，并在课堂最后留给学生持续“生长”的“缺口”。