递推型数列的几种求极限方法
2020-12-23仝兆佳
仝兆佳
摘 要: 本文列出了递推型数列求极限的几种方法,并给出了相应的例子。
关键词: 递推型数列;极限;单调性;有界性
【中图分类号】O171 【文献标识码】A 【DOI】10.12215/j.issn.1674-3733.2020.39.200
数列极限是微积分的第一节课,也是微积分学的理论基础.求数列的极限,在各类的考试,如研究生入学考试,数学竞赛中等都是一个较为重要的考点,也是高等数学中的困难问题之一.本文将列举几种递推型数列极限的求解方法.
设数列xn由递推关系式xn+1=f(xn)给出,将函数f(x)称为该数列的递推函数.
1 利用单调有界定理
定理1:单调有界数列必收敛.
利用单调有界定理对数列极限的求解,主要分为以下三步:第一步,证明数列的单调性;第二步证明数列的有界性;第三步,求递推函数f(x)的不动点,并根据数列的性质,舍去不合条件的解,找到数列的极限.以上三个步骤中,数列单调性的证明是一个难点.主要方法有:
(1)判断 xn+1-xn的正负; (2) 若xn为正项数列,判断xn+1xn是否大于1;
(3) 利用常用的不等式及数学归纳法证明数列的单调性;
(4)若递推函数的导数f′(x)0,则x1SymbolcB@x2时,数列xn单调增加;x1x2时,数列xn单调减少;
以上四种确定函数单调性的方法中,前三种在使用时都可以直接得出正确结论.第(4)种在证明过程中应注意,如果函数f(x)的单调区间不是一个连续的区间,不一定能够直接得出函数的单调性,应对数列的取值情况加以讨论.举例说明如下:
例1.设数列xn满足(2-xn)xn+1=1,证明limn→SymboleB@xn=1.
解:由已知xn+1=12-xn,故递推函数f(x)=12-x,f'(x)=1(2-x)2,故f(x)的单调增加区间为(-SymboleB@,2)和(2,+SymboleB@).
若对任意的n∈N+,xn∈(-SymboleB@,2),则数列xn有界,且有x2-x1=12-x1-x1=(x1-1)22-x10,即x2x1,由f(x)单调增加知,f(x2)>f(x1),即x3x2,依次下去,知xn为单调增加数列.由定理1可知,数列xn收敛.
若存在m∈N+,xm>2,则必有xm+1=12-xm<0,从而xm+2=12-xm+1<12<1,依次下去,可得xm+n<1<2,对任意的n∈N+,n2.故数列{xm+n}n2满足所有项均小于2,且有递推关系式xm+n+1=12-xm+n,因此由第二段讨论过程可知,数列{xm+n}n2收敛,故数列xn收敛.
设limn→SymboleB@xn=A,则A(2-A)=1,解得A=1,故limn→SymboleB@xn=1.
2 压缩影像原理.
定理2 若数列xn由递推公式xn+1=f(xn)给出,其中f为一可微函数,且存在r∈R,使得对任意的x∈R,恒有 f′(x)SymbolcB@r<1,则数列xn收敛.
例2.设数列xn满足x0=1,xn=bxn-1+c(n1),其中b,c为固定常数,且满足b<1,证明该数列收敛,并求limn→SymboleB@xn.
解:由已知,递推函数为f(x)=bx+c,则f'(x)=b<1,由定理2可知,该数列收敛.假设limn→SymboleB@xn=A,则A=bA+c,A=c1-b.
3 先猜测假设,再证明极限.
假设极限为A,则由递推公式xn+1=f(xn)可知A=f(A),计算出A可能的取值,猜测出数列xn的极限,然后证明数列xn的极限.
例3.设数列xn满足x1=1,xn+1=xn+axn+1,其中a为一固定常数,且满足0 解:假设limn→SymboleB@xn=A,由保号性,必有A0.递推式两边同时取极限,则A=A+aA+1,解得A= a.下证limn→SymboleB@xn= a. xn- a=xn-1+axn-1+1- a =xn-1+a-xn-1 a- axn-1+1 =( a-1)(xn-1- a)xn-1+1<( a-1)(xn-1- a) <( a-1)2(xn-2- a) <( a-1)n-1x1- a=( a-1)n