启发式教学在《数学实验》课程的实践

张弘 钱旭 宋松和

《数学实验》课程是高等院校理工科本科学生的一门选修课程，通过讲授一些常用的数学算法方法及其程序实现，包括插值、解线性方程组的直接法、解线性方程组的迭代法、非线性方程求根、常微分方程数值解等，使学生了解数学的基本原理、熟悉主要数值算法和建模方法、培养数学编程计算能力。通过体验数学实验的全过程，充分调动学生学习的积极性，拓展学生的视野和知识面，最终达到提高学生数学素养和综合能力的目的。

我校在高年级本科生中开设了《数学实验》专业选修课程，共16学时。通常，由于这门课程具有理论性强，高度抽象，算法的推导和分析过程复杂等特点，再加上一些学生的《高等数学》和《线性代数》等前续课程基础较差，程序设计语言和编程方法的学习不够扎实，理论与实践衔接不紧密，致使学生对该门课程学习的兴趣不高，教学效果也不够理想。如何提高《数学实验》课程的教学效果，在教学过程中尽可能地激发学生的学习热情，变被动灌输为主动思考，对学生后续课程的学习具有重要的意义。结合近几年《数学实验》课程的教学经验，以下就如何在专业课教学中运用启发式教学谈几点认识与体会.

1 启发式教学的重要性

启发式教学是中国最古老、最传统的教育方法之一，为历代教育家所推崇，有着广泛的 实践基础。《数学实验》课程涉及面广、原理抽象、对实际操作的技术性要求高。如果采用“满堂灌”的教学模式，则容易让学生失去学习的动力。此外高年级的本科生大多具备一定的分析问题和解决问题的能力，与其将课程内容平铺直叙地灌输，不如启发他们去主动思考，去“探索”一些数学结论。通过结合课程教学要求，我们给出一个启发式教学实践案例。

2 启发式教学实践介绍

矩阵理论是《数学实验》课程的基础内容和重要工具，而对角占优矩阵及二次型在矩阵理论中发挥着重要的作用，它有分析简单、易于掌握等优点。本文就对称对角占优矩阵的一些新的性质，给出了相关分析，望促进学生对对角占优矩阵本质的理解，更好的掌握《数学实验》课程的本质。

2.1 对称对角占优矩阵的新性质

在《线性代数》课程中，我们知道对角线元素非负的对称对角占优矩阵是正定的，即定理2.1 设满足

由于定理2.1对部分学生而言较为抽象，为加强学生对这一知识点的理解，在课堂上笔者要求学生使用Octave软件编写程序对这一定理验证。验证程序如下：

N = 10; N1 = 100; N2 = 100;

for i = 1：N1

tmp = 2*rand（N， N） - 1; % random matrix in [-1， 1]

A = 1/2 * （tmp + tmp'）;

rowsum = sum（abs（A）， 2） - abs（diag（A））;

A = A - diag（diag（A）） + diag（rowsum）; % diagonally dominant

xv = 2*rand（N， N2） - 1;  % random vector in [-1， 1]

minvalue = min（dot（xv， A * xv））;

if minvalue < 0

fprintf（'result = %f， theorem wrong！＼n'， minvalue）;

pause;

end

end

在验证完这一定理以后，我们希望可以对这一定理进行推广。为此我们启发学生计算表达式的结果。通过编程计算，学生们发现是非负的，笔者继而要求验证的正确性。学生们再次发现也是非负的。最后笔者启发学生进行总结，得到如下猜想：

猜想2.2 设是对称对角占优矩阵且所有对角线元素均满足则有，其中。

为验证这一猜想，学生们通过讨论以后，给出了如下验证程序：

N = 10; N1 = 100; N2 = 100;

for i = 1：N1

tmp = 2*rand（N， N） - 1; % random value in [-1， 1]

A = 1/2 * （tmp + tmp'）;

rowsum = sum（abs（A）， 2） - abs（diag（A））;

A = A - diag（diag（A）） + diag（rowsum）; % diagonally dominant

xv = 2*rand（N， N2） - 1; % random vector in [-1， 1]

p = 2;% 3， 4， 5， …

minvalue = min（dot（（xv.^（2*p-1）），  A * xv））;

if minvalue < 0

fprintf（'result = %f， Conjecture wrong！＼n'， minvalue）;

pause;

end

end

經过数值实验，大部分学生都认为这一猜想是正确的。但是如何才能发掘出这一现象的本质呢？通过共同努力，笔者引导学生们推导了猜想2.2的证明：

3 结束语

本文对《数学实验》课程的特点和存在的问题进行了分析，结合自身的教学实践和体会，给出了一个启发式教学案例。这一案例以启发学生的思维为核心，调动了学生学习的主动性和积极性，促使他们生动活泼地理解了数学原理，并启发他们给出了一个猜想，然后进行数值验证，最后给出了理论证明。具体到教学实践，作为教师即要重视课堂数学理论的教学，又要注意启发学生对数学原理的理解以及发现问题、分析问题、解决问题的能力，因材施教、灵活运用，提高教学水平，为发展国防科技培养高素质人才贡献力量。

（作者单位：国防科技大学文理学院数学系）