基于发展数学抽象素养的课堂教学策略探究

摘 要：数学抽象概括，既是形成数学思想与方法理论的核心思维方式，又是应用数学思想与方法解决实际问题的核心素养能力。直观想象与数据分析是数学抽象的基础，数学建模是数学抽象后的形式化语言，而数学运算与逻辑推理均是数学形式化语言的演绎。发展学生的数学抽象素养途径为：重视感知 促进事物层面的抽象;引导表述 促进语言层面的抽象;启迪建模 促进形式层面的抽象;抓住精髓 促进思想层面的抽象。

关键词：数学抽象;数学感知;数学表述;数学建模;数学思想

数学课程标准指出：数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽象概括、形成方法和理论，并进行广泛应用的过程。从上面叙述可以看出：数学抽象概括，既是形成数学思想与方法理论的核心思维方式，又是应用数学思想与方法解决实际问题的核心素养能力。有人把数学核心素养概括为数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析等六个方面。就六大素养之间的内在联系来说，直观想象与数据分析是数学抽象的基础，数学建模是数学抽象后的形式化语言，而数学运算与逻辑推理均是数学形式化语言的演绎。故本人认为，数学抽象才是数学素养中的关键性素养。

数学抽象，指抽取出同类数学对象的共同的、本质的属性或特征，舍弃其他非本质的属性或特征的思维过程。在思维进程方面，它包括“观察发现”“分析归纳”“抽象概括”三个过程，其中“抽象概括”又必须经历“具体到抽象的语言表述→语言到符号的形式化→形式化到数学思想”这三个思维过程。文章依据数学抽象的思维过程特征，就小学数学课堂教学如何发展学生的数学抽象素养，谈谈个人的认识。

一、 重视感知 促进事物层面的抽象

数学抽象是从不同形式或内容中的诸多事物中，就数量或空间形式关系抽取出共同的、本质的属性或特征，然后用形式化的数学语言来描述这类事物，其中对数学问题的感知过程是数学抽象的前提，感知越丰富越全面，抽象才会越完善越深刻，而观察与发现是感知的主要方式。因此，在数学概念的构建教学中，教师应从不同的角度和不同的层面来提供丰富的感知素材，让学生去观察，去发现，辨析它们的差异与共同点，为数学抽象奠定扎实的感知基础。

如《分数的意义》课题，教材是通过“两个人分一个苹果或一个月饼”来说明分数的产生，然后“用一根香蕉是4根香蕉的1/4”和“2个面包是8个面包的1/4”的事例来诠释分数的意义。本人认为，这样的感知素材既单一（均是实物），又难于充分体现分数的本质内涵。因而教学中可以增设以下教学案例素材：

①8小时是一天时间的多少？②珠穆朗玛峰的高度约为海拔8800米，福建武夷山的黄冈山的最高处约为海拔2200米，黄岗山高度是珠穆朗玛峰高度的多少？③腐败官员一顿饭花费人民币约为40000元，贫困山区的孩子一年的生活总费用约为人民币2000元，后者一年的生活总费用是前者一顿饭花费的多少？

在上面三个教学案例中，素材①是反映既看不见又摸不着且具有流失性的时间，素材②是反映我国某些地理位置的特征，素材③则是反映不同人之间的生活落差。这样不仅能从不同的角度和不同的思想层面揭示了分数的文化内涵，同时又赋予了分数深刻的思想内涵，它能促使学生领悟：分数既可以反映同一事物局部和整体的数量关系，也可以反映相近或相关两个事物间在数量方面的局部与整体的数量意义。对于教材中“一个物体、一个计量单位或是一些物体等都可以看作一个整体，把这个整体平均分成若干份，这样的一份或几份都可以用分数来表示”的描述，如果不增设上述事例，学生何以能理解这种抽象后外延被放大的“整体”含义。诚然，通过上述列举的事例，虽然不能致使学生做到教材所要求的数学抽象理解，但对于发展学生在事物层面的数学抽象素养却有着很好的促进作用。

二、 引导表述 促进语言层面的抽象

由具体到抽象的语言表述是数学抽象的首要过程，它是把一个个具体事物共同的或本质性特征抽取出来，然后用语言或文字进行表述的过程。语言表述，简单地说，就是下定义或提出新概念。准确精炼的语言表述是建立数学模型的基础，其中既包含有分析与比较的辨异思维，又蕴含着归纳与概括的求同思维，因而它是数学抽象的关键性过程。然而在实际的教学中，绝大多数教师都是用自己的讲解来取代学生的理解性描述，一种能有效训练学生数学抽象的机会则悄然流失。当然，由具体到抽象的语言表述是一种很高的能力素养，尤其是小学生，要求他们能用精练准确的语言来表述内涵深刻的知识概念，似乎不可思议，但这就是课堂教学发展学生核心素养的突破点——如何引导学生来表述知识或概念。

首先，要训练学生的“同中辨异”和“异中求同”的比较思维，在认知构建方面能够抓住事物共同性或本质性的内涵要点。其次，是教学学生学会提炼与概括，为对知识概念描述奠定认知与能力基础。

如对“平行四边形”的认识，教学中通常会给出正方形、长方形、菱形、一般的平行四边形等图形让学生观察，为了让学生准确地把握平行四边形的共同特征，教师就可以设置如下问题让学生进行辨析思考：

①它们一共有几条边？两组对边具有什么特点？②相邻两边一定相等吗？③四个角相等吗？对角呢？

如果学生能从这些图形中归纳出“两组对边互相平行”“两组对边分别相等”“两组对角分别相等”這三个共同特征，那么他们就能较为准确地说出“平行四边形”的概念内涵。可能在表达方面欠严密，如“平行四边形是两组对边互相平行的图形”，也可能欠精炼，如“平行四边形是对边平行、对边相等、对角相等的四边形”。这些表述，在概括方面虽有欠缺，但它正是学生数学抽象能力发展的真实反映，教学中只要稍加引导，学生的抽象概括能力自然会得到提升。

三、 启迪建模 促进形式层面的抽象

建模，即建立数学模型。所谓数学模型，就是应用数字、符号、图形并依据数理逻辑与方法来描述数学问题，其特征是形式简洁，其作用是为形式演绎和逻辑推理提供捷径。建模是数学问题在形式层面的抽象，与前面的语言表述相比，它更概括，更精炼，更简约。如“分数”，它是反映所有事物的局部与整体的数量关系。可见，建模是更高级的抽象，也是构建数学理论的重要形式和方法。

启迪学生正确地建立数学模型，关键在于引导学生领悟或把握数学模型的构建原理与方法。关于原理与方法，它可能是某种数学原理，如计算长方形面积公式为“长×宽”;也可能是某种物理原理，如运动问题中的“速度=路程÷时间”，还可以是某种数量关系，如“1小时等于60分钟”等，不同的数学问题，其建模的原理与方法也有所不同，完全依赖于学生的知识基础。所谓启迪建模，就是指教学中注重启发学生依据数理原理与方法并用数学语言来描述数学问题。如对于构建小数模型，首先，要让学生知道“是否是小数和小数的位数与所取的计量单位有关”。如“12厘米”的整数，如果取分米为单位，“12厘米”就是“1.2分米”，如果取米为单位，“12厘米”就是0.12米。其次，要让学生把握计量单位的进位制与换算方法，如1元=（100×1）分=100分，属于百进位制，那么1分=（1÷100）元=0.01元，注重引导学生把握其中的换算要领。当学生领悟了上述构建小数模型的原理与方法，那么学生对所有牵涉小数的生活事物，都能够用小数模型表示。另外，在后面的小数加减法列竖式运算中，学生自然会领悟对位思想。尤其在以后的乘除运算结果的小数点取位方面，学生不仅能较好地掌握小数点的取位方法，而且能很好地理解其取位原理。

数学建模普遍用于解决生活中实际的数学问题，也就是数学老师常说的“解应用题”。为什么大多数学生解应用题的能力较低，其中最主要的原因就是不能正确地列出计算式或数学方程，其根源就是数学建模思维训练教学没到位。知识概念形成中的数学建模是解应用题中数学建模的基础。只有打实基础，灵活应变的综合建模思维活力才能得以诱发。

四、 抓住精髓 促进思想层面的抽象

数学学科的核心素养可以概括为三句话：能用数学眼光去观察世界，能用数学思维去分析世界，能用数学语言去描述世界。指导并促进这种行为的是数学思想，其中包含数学观念与数学方法。从数学抽象的角度而言，它既是对数学知识体系的融会贯通，又是对数学方法的提炼与概括，更是对数学思维的统摄与活化。因此，数学思想的领悟是数学抽象最高层次的产物，也是数学抽象的精髓。如由长方形的面积公式来推演平行四边形面积公式、三角形面积公式、梯形面积公式乃至圆面积公式，其中所采用的数学方法均是“割补法”，而依据的数学思想则是“化归思想”，即将未知的，陌生的，复杂的问题通过演绎归纳转化为已知的，熟悉的，简单的问题。这种“化归思想”贯穿于整个数学课程体系，不仅可以用来研究数学问题，而且可以用来研究其他学科问题和分析与解决诸多的日常生活实际问题，这何以不是数学的核心素养。

小学数学知识内容虽粗浅与简单，但其中蕴含着丰富的数学思想。如《认识小数》课题，教材列举“水果3.45kg、一支铅笔0.85元、身高1.2米”等几组数据来介绍小数，其意图就是引导学生在归纳这几组小数内涵的基础上来推知其他生活中的小数，这其中就蕴含着“归纳推理”的数学思想。又如“分数加减法”，它分“同分母分数加减”和“异分母分数加减”两种情形，其中就蕴含着“分类讨论”的数学思想，而把“异分母分数”转化为“同分母分数”就是数学“化归”思想。如果教师在教学中能就这些数学思想或方法加以点拨或启发，那么学生既能较好地领悟数学课程基本的研究方法和思维方法，又能融会贯通地把握数学知识与方法间的内在联系，这就是思想层面数学抽象的价值。

如何助进学生在数学思想层面的抽象，关键在于创设相应的教学问题。如促使学生领悟“函数思想”，教学中可以就三角形面积公式，让学生分别计算“高相同而底边不同”或“底边相同但高不同”的多个三角形的面积，在比较分析的基础上抽象出“面积随底边或高度的变化而变化”的“函数思想”。

文章是以“数学事物→数学内涵→数学模型→數学思想”的数学抽象进程来阐述数学抽象素养培养的途径与方法，但其中实际牵涉到数据分析、直观想象、逻辑推理与数学运算等诸多数学素养，正好说明了数学抽象这种素养的核心价值，这也正是文章课题形成的缘由所在。

参考文献：

[1]高茂军.核心素养引领下的课堂教学革新[M].天津教育出版社，2018.

[2]林日福.基于数学核心素养的教学研究[M].西南师范大学出版社，2018.

作者简介：

王慧玲，福建省三明市，福建省三明市宁化县实验小学。