把脉错因远离陷阱

2020-12-17文葛松

初中生世界 2020年47期

关键词：纵坐标半轴对称轴

文葛松

二次函数是初中数学函数知识块的重要内容之一，也是各地中考试题中考查的重点。我们在解二次函数的问题时，往往会出现一些不同类型的错误，现对几种常见错误分类剖析，供同学们参考借鉴。

一、概念不清，忽视字母系数

例1若y=（m2+m）xm2+1+2x+3是关于x的二次函数，则m的值为________。

【错解】令m2+1=2，解得m1=1，m2=-1。所以当m=±1 时，y=（m2+m）xm2+1+2x+3 是二次函数。

【剖析】出错的原因是概念不清。函数y=ax2+bx+c 为二次函数的条件是二次项系数a≠0。当m=-1时，此函数是y=2x+3，此时是一次函数而不是二次函数。

【正解】由m2+1=2，解得m1=1，m2=-1。又因为m2+m≠0，所以m≠0 且m≠-1，所以m1=1。即当m=1 时，函数为y=2x2+2x+3，是二次函数。

【点评】判断函数y=ax2+bx+c是二次函数的两个条件：①未知数的最高次数是2；②二次项系数a≠0。

二、考虑不周，忽视分类讨论

例2 若函数y=（m-1）x2-4x+2m 的图像与x轴只有一个交点，则m的值为____。

【错解】因为函数y=（m-1）x2-4x+2m的图像与x 轴只有一个交点，所以b2-4ac=（-4）2-4（m-1）⋅2m=0，即-8m2+8m+16=0，解得m1=-1，m2=2。

【剖析】已知条件中，没有指明这个函数是关于x 的二次函数，因此它还可能是一次函数。此错解因考虑不全，漏掉了一种情况。

【正解】（1）当m-1≠0 时，函数为二次函数，可得m1=-1，m2=2；（2）当m-1=0，即m=1 时，函数为一次函数y=-4x+2，它的图像与x 轴只有一个交点，也满足题意。综上可知，m的值为-1或2或1。

【点评】对于含字母系数的函数问题，要重视对字母系数的讨论，要区别是什么函数，有交点、有一个交点或与坐标轴有两个交点等，根据题意加以界定，判断函数类型，再去解决问题。

三、范围不清，忽视增减性

例3若点P1（-1，y1）、P2（3，y2）、P3（5，y3）均在二次函数y=-x2+2x+m 的图像上，则y1，y2，y3的大小关系为（）。

A.y3＞y2＞y1B.y3＞y2=y1

C.y1＞y2＞y3D.y1=y2＞y3

【错解】因为a=-1＜0，-1＜3＜5，所以y3＞y2＞y1，故选A。

【剖析】错解忽视了二次函数增减性的适用范围。因为二次函数的对称轴是x=1，所以对于二次函数y=-x2+2x+m 的增减性应分为x＞1 和x＜1 两种情况讨论。当x＞1 时，y 随x 的增大而减小；当x＜1 时，y随x 的增大而增大。对于对称轴两侧的点，还应根据抛物线的对称性转化为与抛物线的对称轴等距的同侧点，再根据增减性来比较大小。

【正解】因为对称轴为x=1，所以y1=y2；又因为抛物线开口向下，且点P2、P3都在对称轴的右侧，即y 随x 的增大而减小，所以y2＞y3，即y1=y2＞y3，故选D。

【点评】对抛物线上点的纵坐标大小比较的关键是要看开口方向和点在对称轴的左侧还是右侧。判断的基本方法是：①利用抛物线上的对称点的纵坐标相等，把点转化到对称轴的同侧，再利用增减性比较大小；②当已知抛物线表达式和横坐标确定时，可直接求出纵坐标来比较大小；③利用数形结合的思想方法，画大致图像去判断。