一道中考压轴题引出的数学模型

文 戚文理

我们先来看一下2019 年四川绵阳数学中考第24题：

在平面直角坐标系中，将二次函数y=ax2（a＞0）的图像向右平移1 个单位，再向下平移2 个单位，得到如图1 所示的抛物线，该抛物线与x 轴交于点A、B（点A 在点B 的左侧），OA=1，经过点A 的一次函数y=kx+b（k≠0）的图像与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为D，△ABD的面积为5。

（1）求抛物线和一次函数的表达式；

（2）抛物线上的动点E 在一次函数的图像下方，求△ACE 面积的最大值，并求出此时点E的坐标；

【分析】（1）先写出平移后的抛物线表达式，经过点A（-1，0），可求得a 的值，由△ABD的面积为5 可求出点D 的纵坐标，代入抛物线表达式求出横坐标，由A、D 的坐标可求出一次函数表达式；

（2）作EM∥y 轴交AD 于M，如图2，利用三角形面积公式，由S△ACE=S△AME-S△CME构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；

（3）如图3，作E 关于x 轴的对称点F，过点F作FH⊥AE于点H，交x轴于点P，则∠BAE=∠HAP=∠HFE，利用锐角三角函数的定义可得出，此时FH 最小，求出最小值即可。

【点评】本题主要考查了二次函数表达式的求法和数形结合的能力。要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题。第（3）问是本题的压轴点，属于“胡不归”模型。

“胡不归”模型是一个非常古老的数学模型，也是历史上非常著名的难题，近年来逐渐成为各地中考的热门考点，很多同学不易把握。下面结合几个例子来说说这一模型。

一、“胡不归”模型的建立

如图4，点P是射线AM 上一动点，点B是射线外一定点。求k·PA+PB 取最小值时点P的位置（其中0＜k＜1）。

【分析】如图5，将射线AM 绕A 点逆时针旋转α°得射线AM′，使sinα=k。过点P 作PE⊥AM′，垂足为E，那么有k·PA+PB=PE+PB。过点B 作BF⊥AM′，垂足为F，交AM 于点P′，易得，当点P 与P′重合时，k·PA+PB 有最小值BF。

【理论依据】点到直线间垂线段最短。

二、“胡不归”模型的运用

例1（2019·湖北恩施）如图6，抛物线y=ax2-2ax+c的图像经过点C（0，-2），顶点D的坐标为与x轴交于A、B两点。

（1）求抛物线的表达式。

（2）连接AC，E为直线AC上一点，当△AOC∽△AEB时，求点E的坐标和的值。

【分析】（1）将点C、D 的坐标代入抛物线表达式，即可求解；

（3）连接BF，过点F 作FG⊥AC 于点G，当折线段BFG 与BE 重合时，取得最小值，即可求解；

（4）①当点Q为直角顶点时，由Rt△QHM∽Rt△FQM 得QM2=HM·FM；②当点H 为直角顶点时，点H（0，2），则点Q（1，2）；③当点F为直角顶点时，同理可得点

【点评】本题考查了二次函数的综合运用，涉及一次函数、点的对称性、三角形相似、图形的面积计算等，其中第（4）问要注意分类求解，避免遗漏。第（3）（4）两小问则是对“胡不归”模型的应用。

例2（2020·湖南湘西）已知直线y=kx-2 与抛物线y=x2-bx+c（b、c 为常数，b＞0）的一个交点为A（-1，0），点M（m，0）是x 轴正半轴上的动点。

（1）当直线y=kx-2 与抛物线y=x2-bx+c（b、c为常数，b＞0）的另一个交点为该抛物线的顶点E 时，求k、b、c 的值及抛物线顶点E 的坐标；

（2）在（1）的条件下，设该抛物线与y 轴的交点为C，若点Q 在抛物线上，且点Q 的横坐标为b，当时，求m的值；

【分析】（1）将A 点坐标代入直线与抛物线的表达式中求得k 的值和b 与c 的关系式，再将抛物线的顶点坐标代入求得的直线的表达式，便可求得b、c 的值，进而求得E 点的坐标；

（2）先根据抛物线的表达式求得C、Q 点的坐标，用m 表示出△EQM 的面积，再根据列出m的方程进行求解；

（3）取点N（0，1），则∠OAN=45°，过点D作直线AN 的垂线，垂足为G，DG 与x 轴交于点M，此时的值最小，由列出关于b的方程求解便可。

【点评】本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法、二次函数的图像与性质、三角形面积公式、等腰直角三角形的性质等知识。第（2）小问的关键是由面积关系列出m的方程，第（3）小问的关键是利用“胡不归”模型确定的最小值为2DG的值。