二次函数在生活中的应用

文 孙 艳

二次函数是初中阶段数学中的一个重要组成部分，也是中考中的必考内容，它的重要性显而易见。而隶属其中的在实际生活中的应用又是二次函数的一个难点，很多同学从心理上就怵它，学起来便显得很吃力。在实际生活中，桥梁、隧道、喷泉、经济、球类运动轨迹等都融合了二次函数的相关知识点。下面我们从常见的二次函数与实际生活问题之间的关系中选择桥梁和经济两种类型来分析，希望能使同学们的学习达到事半功倍的效果。

一、二次函数在桥梁中的应用

例1有一座抛物线形拱桥，在正常水位时，水面AB 的宽为20 米；在警戒水位时，水面宽12 米。如果水位上升3 米时，水面CD的宽为16米。

（1）建立适当的平面直角坐标系，求此抛物线表达式；

（2）在正常水位时，有一艘宽8 米、高3.5米的船只，能否通过此桥？

（3）若正常水位时，水深4 米，为了保证船只顺利通过，水面宽度不得小于警戒水位，求水深超过多少时会影响船只通行？

（4）现有一辆距桥440 千米的货车以36千米/小时的速度开向此桥，行使2小时后，接到通知，前方连降暴雨，造成水位以每小时0.5 米的速度上涨，问如果货车按原速行驶，能否安全过桥（桥长忽略不计，达到警戒水位时不能过桥）。若能，说明理由；若不能，要使货车安全过桥，速度应不小于多少千米每小时？

【分析】（1）求抛物线表达式是解决二次函数相关问题的基础。求二次函数表达式的方法有：

①一般式：已知抛物线上三点坐标，可设y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；

②交点式：已知抛物线与x 轴的两个交点，可设y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0）；

③顶点式：已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，可设y=a（x-h）2+k（a≠0）。

本题也可建立其他的平面直角坐标系，答案不唯一。

（2）根据船只的宽度和抛物线表达式，当横坐标是4 时，求出此点到桥面的距离；再根据正常水位时的条件，求出水面到桥面的距离。这两个距离之差与3.5比较，大于3.5时能通过，否则不能。

（3）当水面宽度就是警戒水位时，求出此时水面到桥面的距离，再根据正常水位时水面到桥面的距离，可求不影响船只通行的水深的最大值。

（4）本题实质上是行程类问题，根据路程=速度×时间，算出到达警戒水位时的时间，求出货车行驶的路程。若求出的路程大于等于440千米时，可顺利通过桥，反之，不能。

解：（1）如图1 所示建立平面直角坐标系，设抛物线的表达式为y=ax2（a≠0），OH=h。

∵AB=20，CD=16，OH=h，EH=3，

∴BE=10，DH=8，OE=h+3，

∴B（10，-h-3），D（8，-h）。

∴船只能顺利通过。

∵456＞440，∴货车能够安全过桥。

【点评】本题考查二次函数在桥梁中的应用，借助平面直角坐标系确定二次函数表达式及利用数形结合思想是解题的关键。

二、二次函数在销售中的应用

例2在抗击“新冠”疫情期间，某药店以每个2 元的进价购进一批某型口罩售卖。经调查发现，若按定价每个3 元销售，每天可销售500 个。定价每增加1 元，每天将少卖100 个。按相关政策，该型口罩售价不能超过6 元，同时假设定价不低于每个3 元。设定价为每个x元，每天销售量为y个。

（1）请写出y与x的函数表达式及自变量x的取值范围；

（2）设该药店销售这批口罩一天的利润为W元，求W与x的函数表达式；

（3）当药店将口罩定价为每个多少元时，每天所获利润最大？最大利润是多少元？

（4）该药店老板热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出100 元给希望工程。为保证捐款后每天剩余利润不低于700 元，请写出该口罩售价的范围。

【分析】（1）定价每个3元，可销售500个，定价每增加1 元，每天将少卖100 个，即x 比3大多少就少卖多少个100。

（2）本问考查二次函数在销售问题中的应用，理清成本、利润之间的关系是解决问题的关键。总利润=总销售额-总成本，总销售额=售价×销量，总成本=进价×销量。

（3）二次函数最值的求法：配方法或顶点公式法。需注意自变量的取值范围、对称轴、函数图像增减性等。

（4）捐款后的利润=销售利润-100，即W-100≥700。还可利用解方程或数形结合思想解决。

解：（1）由 题 意，得y=500-100（x-3）=800-100x（3≤x≤6）。

（2）由题意，得W=xy-2y=（x-2）y=（x-2）（800-100x）=-100x2+1000x-1600。

（3）∵W=-100x2+1000x-1600=-100（x-5）2+900，

又∵-100＜0，3≤x≤6，

∴当x=5时，W最大=900。

答：当药店将口罩定价为每个5 元时，每天所获利润最大，最大利润为900元。

（4）W-100=-100x2+1000x-1600-100。

∵-100x2+1000x-1600-100≥700，

∴x2-10x+24≤0，

∴（x-4）（x-6）≤0。

∴4≤x≤6。

或如图2所示：

令y′=x2-10x+24，

∵x2-10x+24≤0，

∴y′≤0，由图可得4≤x≤6。

答：该口罩售价的范围是4≤x≤6。

【点评】本题考查了二次函数在销售方面的应用及二次函数与方程、不等式之间的联系。理清题中的数量关系并明确二次函数的表达式与相关性质是解决问题的关键。

利用二次函数建立数学模型来解决实际问题，用数学思维来分析实际问题，才是真正搭建了数学与生活的桥梁。