探讨动态几何压轴题

文 胡海洋

点动、线动、面动构成的问题称为几何动态问题，也一直是中考压轴题命题的热点。这类问题的特征是，以运动中的几何图形为载体构建成综合题，把几何、三角、函数、方程等知识集于一身，题型新颖，综合性强，能力要求高。遇到这类问题，要把握好一般与特殊的关系；在分析过程中，要特别关注图形的特殊性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置）。如何准确、快速地解决此类问题呢？关键是把握解决此类题型的规律与方法——以静制动。

例题（2018·江苏宿迁）如图1，在边长为1 的正方形ABCD 中，动点E、F 分别在边AB、CD上。将正方形ABCD 沿直线EF折叠，使点B的对应点M 始终落在边AD 上（点M 不与点A、D 重合），点C 落在点N 处，MN 与CD 交于点P，设BE=x。

（2）随着点M 在边AD 上位置的变化，△PDM 的周长是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出该定值；

（3）设四边形BEFC 的面积为S，求S 与x之间的函数表达式，并求出S的最小值。

【解析】（1）由折叠性质可知BE=ME=x，结合已知条件知AE=1-x，在Rt△AME 中，根据勾股定理，得，解得

（2）△PDM的周长不变，为定值2。

方法一：连接BM、BP，过点B 作BH⊥MN，如图2。根据折叠性质知BE=ME，由等边对等角得∠EBM=∠EMB，由等角的余角相等得∠MBC=∠BMN，由全等三角形的判定AAS得Rt△ABM≌Rt△HBM，根据全等三角形的性质，得AM=HM，AB=HB=BC，又根据全等三角形的判定HL 得Rt△BHP≌Rt△BCP，根据全等三角形的性质，得HP=CP，由三角形周长和等量代换即可得出△PDM周长为定值2。

方法二：设AM=a，由EM2=AE2+AM2，得x2=（1-x）2+a2，∴a2=2x-1。

由△AEM∽△DMP，得

（3）方法一：过点F 作FQ⊥AB，垂足为Q，连接BM。由折叠性质可知∠BEF=∠MEF，BM⊥EF，由等角的余角相等得∠EBM=∠EMB=∠QFE，由全等三角形的判定ASA得Rt△ABM≌Rt△QFE，据全等三角形的性质，得AM=QE。设AM 长为a，在Rt△AEM 中，根据勾股定 理，得（1-x）2+a2=x2，从 而 得AM=QE=，BQ=CF=x-，根据梯形的面积公式代入即可得出S 与x 之间的函数表达式。又由（1-x）2+a2=x2，得=BE，BQ=-a（0＜a＜1），代入梯形面积公式即可转为关于a 的二次函数，配方从而求得S 的最小值。

方法二：设AM=a，MD=1-a，由勾股定理，得a2=2x-1。利用△AEM∽△DMP∽△NFP得比例式，求出FN。由FC=FN 得BE）·BC，表示成关于a的函数表达式求解。

方法三：连接FM、BM、BF。由折叠性质知EF垂直平分BM，则FM=BF。

∴y2+1=（1-y）2+（1-a）2，则

图形运动问题一般与图形变换相结合。图形在运动过程中只是位置发生变化，大小、形状一般不变，因此我们在解答这类问题时往往可以运用平移、旋转、对称、平行、全等、等腰三角形等知识。本题考查了折叠的性质、勾股定理、三角形全等、相似三角形、二次函数等知识点，综合性较强，特别是第（3）问的解题思路，看似清晰，处理起来却很困难且比较复杂。计算量大，即对计算技巧要求很高，因此处理复杂问题也是我们必备的能力。