从数学哲学角度浅谈数学的客观性和主观性及其对数学教育的意义

孙颖敏 梁碧瑶

摘要：数学的客观性与主观性的争论其实是数学哲学上的争论。数学哲学中的绝对主义认为数学是一种绝对现实（客观真理），独立于人类认识而存在。建构主义认为数学同时具有主观性和客观性，其中社会建构主义认为数学是由数学研究者的主观构建而成为客观知识的。激进建构主义对此有着类似却又不完全相同的观点：知识是个人纯主观的建构，它是个体组织经验世界的工具，而不是用来发现本体的。激进建构主义反对把数学看成是坚定的客观科学，主张数学的建构性。这三个主义为描述数学提供了三个视角，我们从不同的角度看数学，对数学教育的意义是不一样的。当我们从绝对主义的视角看数学时，会更强调数学知识的客观性，因此可能更倾向于用“匹配”的观念进行教学——教师只是一个“客观数学知识的传递者”，只要向学生传递数学知识即可。这种“匹配”的观念更注重结果，更在意教师是否完成“传递”的任务。当我们从建构主义的角度看数学时，会减轻教师仅仅作为“客观知识的传递者”的认识，而更加关注到学生的想法，更注重帮助学生构建起自己的数学知识体系，实现真正的“以学生为中心”的教学。同时，数学的民族文化性与其主观建构性密不可分。当我们真正理解了数学的民族文化性，才能更好地践行新课标中将数学文化融入课程中的这一要求。

关键词：数学;客观性;主观性

一、数学到底是客观的还是主观的

数学的客观性与主观性的争论其实是数学哲学上的争论，很早就有了。数学具有客观存在性的观点，其实是哲学上的绝对主义在数学领域的表现：他们相信存在某种独立于人类认识之外的东西——绝对真实。而数学对于他们来说，并不是被人类所发明创造的，而是独立于人类认识的，也不因人的意志而转移，人类只需要去发现探索它就可以了，因此他们认为数学是客观存在的。激进建构主义都认为数学的客观性就如同，两根手指和两根手指加起来，数都能数出来一共是四根手指，没什么好争议的;抑或是不管哪个民族研究多项式，得到的结论都会一样。其实我在接触建构主义以前也一直认为数学和科学都是客观存在的，因为它们太理性了，不是对就是错，就像这世界一切客观存在的物体——它们就是它们，不是其他任何东西。但是当我尝试从研究者的角度去思考这个问题的时候，我发现这个认知仅仅是基于我的学习经验和在此基础之上的有限推断。而我不是前沿的数学研究者，我有限的数学知识就像加减法对于代数、几何、概率等领域中的问题的作用——可以看作是一个工具，而工具是基本上被大家所确认的东西。我自然地就形成一种错觉，就是（我所学的）数学知识都是不可置疑的，也无法置疑，它就像天生就存在于这个世界之中。进而我也相信，那些还没被发现的数学知识可能会被“找到”，因为它们是不可被质疑的数学。

激进建构主义在这个方面有着相似的观点，认为知识是个人纯主观的建构，它是个体组织经验世界的工具，而不是用来发现本体的。它反对把数学看成是坚定的客观科学，主张数学的建构性。既然数学研究者对数学的构建推动了数学的发展，那么我们无法否认数学研究者对客观数学知识的内化和创造过程具有一定的主观性;在教学过程中，我们也无法否认学生在学习客观数学知识时是在主观地构建自己的数学知识系统，他们对数学知识的理解和他们的数学思维可能是独特的，是值得被看到的;甚至在教学过程中，教师也在构建补充自己的数学知识系统。

我个人认为建构主义对数学本质的解释更具现实意义。对数学研究者来说，数学是否有主观的一面并不影响他们的研究;但是这个争论所探讨的数学知识观给数学教育带来了一定的影响。数学教育除了“数学”的部分，还包括了“教育”的部分，除了客观的数学知识，还有人的主观活动。数学教师的数学观直接影响着他们的教学方式，也对塑造学生数学观产生一定的影响。在教学中，当我们强调数学知识的客观性时，可能更倾向于用“匹配”的观念进行教学——教师只是一个“客观数学知识的传递者”，只要向学生传递数学知识、训练他们的数学思维即可。这种“匹配”的观念更注重结果，更在意教师是否完成“传递”的任务。比如说可能只会关注学生的回答或练习是否正确，如果是错的，那就把对的教给学生。但是当我们看到了数学知识主观性的一面时，会进一步考虑到数学建构中个体的差异性。每个学生对数学知识和老师的教学可能会产生不同的理解，构建数学知识体系的方式也不尽相同。教师通过与学生的交流了解他们的数学思维或者想法，将会给出更贴切的引导。简单来说，就是微观角度下的因材施教、对症下药。

二、数学是否属于文化范畴

一些研究者想要通过数学的客观存在性来反驳数学具有文化性这个观点。他们认为，如果数学客观存在，对于大家来说普遍相同，那不同文化下的数学其实也就都是一个东西了，并没有区别，那何来数学的文化性之谈？

但是如同我在上个问题中所谈到的，从建构主义的角度来说，人是数学研究活动中的主体，这带来了数学知识的主观性。不同个体可能受文化、环境、语言等各种各样的影响，他们思考数学的方式可能不同。上升到民族的层面，民族是由个体组成的。民族与民族之间思考数学或者进行数学研究活动的方式也或不同。比如说我们古中国与古埃及的记数法都采用10进制，古巴比伦的记数法采用60进制，澳洲土著的记数法采用5进制。不同民族之间解决数学问题的思路也可能不一样，比如古巴比伦人解决一些几何问题的思路，现在我们可以用配方法的思路去理解，抑或是认为他们的做法是配方法的几何体现，虽然两种解法看起来方法似乎是一样的，但是其中的数学思维可能是不一样的。所以，我认为数学有民族文化性的一面。

至于数学是否是西方殖民工具的问题，我认为要看不同民族的数学和数学教育发展的实际情况。一方面，如果西方数学发展得更先进，那自然有学习西方数学的道理;另一方面，西方国家确实有它的殖民历史，它在殖民的过程中是否利用了数学呢？中华民族也有自己的数学研究，比如说垛积术，研究高阶等差级数求和的问题。中国传统垛积术在16世纪可能是唯一领先于世界水平的中国传统数学分支，但是在19世纪末就被彻底地代数化了。再比如说三角函数及三角函数幂级数展开式传入中国之后，中国数学家为了理解和证明这些内容，将传统数学与西方数学方法结合，取得了一定的研究成果。但是1860年后，符号代数和微积分在中国传播，中国传统代数学——天元术和四元术几乎很快就被符号代数所取代。这到底是西方的殖民主义还是自然而然的数学发展，可能需要去专门研究一下。包括Marshall是否真的带着浓厚的种族主义色彩去看待数学，都需要再考究。在2017年版的普通高中课程标准中，每个主题都提到了要将数学文化融入课程内容中。我认为这是不可忽略的，它提示我们要对民族数学文化有所了解，这可以帮助我们提高学生的数学学习兴趣，拓展数学知识的理解途径。

再上升到全人类的层面，数学其实就是人类这个大民族的瑰宝！

参考文献

[1]蔡铁权.近代中国文化转型与数学、数学教育的嬗变[J].全球教育展望，2014，43（01）：103-110+22.

[2]谢明初.数学教育中的建构主义：一个哲学的审视[M].上海：華东师范大学出版社，2007：1-37.

[3]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2017.