一题多探 能力凸显———一类椭圆问题多种探究视角

◇ 北京 薛久武

对一道题目从多角度进行探究,是培养学生能力的重要方式.对于不同的题目探究的视角不尽相同,以圆锥曲线问题为例,可从问题的本质、求解方法,蕴含的结论、问题的变式等视角进行探究,从而使学生分析问题与解决问题的能力显著提升.圆锥曲线是高中数学的主要模块,以其为背景命制的问题题型多变、解法灵活、结论丰富,是学生解题探究的良好载体.下面以一道椭圆解答题为例,分析其探究视角.

引例已知椭圆的离心率为过焦点且与x轴垂直的直线被椭圆C截得的线段长度为2.

(1)求椭圆C的方程;

(2)已知点A(1,0),B(4,0),过点A的任意一条直线l与椭圆C交于M,N两点,求证:|MB|·|NA|＝|MA|·|NB|.

1 题目本质探究

本题以直线和椭圆的位置关系为背景,第(1)问考查了利用椭圆的几何性质求曲线方程,属于基础设问,易求得椭圆C的方程为本文重点探究第(2)问.

第(2)问证明|MB|·|NA|＝|MA|·|NB|,对其变形得等式中的四条线段位于△BMN中(如图1),由三角形角平分线性质定理的逆定理可知∠MBA＝∠NBA,这一性质也可利用解三角形知识证明.在△MAB中,由正弦定理得

图1

同 理,在 △NBA中,有 sin∠NAB＝由 ∠MAB＋ ∠NAB＝ π,sin∠MAB＝sin∠NAB,可得

所以sin∠MBA＝sin∠NBA,即∠MBA＝∠NBA.

审视清楚这一原理,解法自然生成.数学问题的求解中,对问题本质的探究是顺利解题的关键,明确了问题的本质,也就弄清了解题的思路,由点成线、由线成面,形成求解一类问题的通法,进而拓展出多种解法.

2 问题解法

思路1由∠MBA＝∠NBA,知kMB＋kNB＝0.

解法1设直线MN:x＝my＋1,与椭圆方程联立,消元得(m2＋2)y2＋2my－3＝0.

设M(x1,y1),N(x2,y2),由于Δ＞0,所以

将式①代入上式的分子中,得

点评

本解法是求解此类问题的通法,即通过坐标法、代入消元法、判别式及根与系数的关系等将几何问题代数化,将所求问题转化为两条直线的斜率关系来处理.

思路2由∠MBA＝∠NBA,可知直线MB与NB关于x轴对称,则点M关于x轴的对称点在直线NB上,进而利用三点共线原理求解.

解法2设M(x1,y1),N(x2,y2),则M关于x轴的对称点M′(x1,－y1).

设直线MN:x＝my＋1,同解法1得

将式②代入得

点评

向量既具有代数特征,又具有几何特征,平面向量的性质、运算在解析几何问题的求解中有着广泛的应用.本解法结合椭圆的对称性,将所证问题转化为三点共线问题,进一步结合向量共线原理来处理.

思路3本题条件中直线MN过定点,判断直线BN,BM的斜率关系,可利用齐次式法进行处理.

解法3设直线MN:x＝my＋1,M(x1,y1),N(x2,y2),则.

设x′＝x－4,则x＝x′＋4,将其分别代入直线的方程与椭圆方程,可得直线,椭圆,即

点评

给出斜率关系判断直线过定点,或给出直线过定点判断斜率关系问题,均可采用构造“齐次式”的方法.构造过程中要注意等价变形.

3 蕴含结论

圆锥曲线因具有特殊的对称性,其中往往隐含着特殊的结论.通过对引例的一般情况进行探究,不难得出如下结论.

结论已知F为椭圆的右(或左)焦点,过点F的直线与椭圆交于M,N两点,点B为直线与x轴的交点,则直线BM,BN关于x轴对称.

下面用引例中的解法1给出证明.

证明设直线MN:x＝my＋c,与椭圆方程联立,消元得

设M(x1,y1),N(x2,y2),由于Δ＞0,所以

将式③代入上式的分子中,得

类似的结论还可以推广到双曲线或抛物线中,留给读者来探究.通过对某一类问题中所蕴含的结论进行探究,会使我们对问题的本质认识更为透彻.

4 变式拓展

在解答完一道题目后,可通过改变问题的条件或结论、以及问题的背景等进行变式,以锻炼学生灵活应用不同方法解答问题的能力.

变式1已知椭圆与坐标轴不平行的直线与椭圆C交于M,N两点,点B(4,0),使得直线BM,BN关于x轴对称,证明直线MN过定点,并求出定点坐标.

本题利用引例中的三种解法均可获解,下面给出齐次式法的解答过程.

解析

设直线MN:x＝my＋n.设M(x1,y1),N(x2,y2),则.

设x′＝x－4,则x＝x′＋4,将其分别代入直线的方程与椭圆方程,可得直线,椭圆,即

整理得

将方程两边同时除以x′2得

变式2已知椭圆,点A(1,0),过点A且不与x轴重合的一条直线与椭圆C交于M,N两点,则在x轴上是否存在点B,使得直线BM,BN关于x轴对称?若存在,求出点B的坐标,若不存在,请说明理由.

解法同上,略.

上述两个变式将例题中的结论与条件互换,利用例题中所述的几种方法均可求解.当然切入的视角不同,得到的变式也不相同,但只要我们清楚问题的本质及相应的结论,即可以不变应万变.

综上所述,圆锥曲线问题是考查考生数学运算、直观想象、数据分析等核心素养的重要载体,对一道题目从不同的视角进行探究,不仅是提升学生能力的重要方式,也是提升数学核心素养的重要方式.因此同学们在学习中要有意识、有针对性地进行探究,从而扎实掌握所学知识,提升自身解题能力.